來源:初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(初二分冊) 2005-09-08 22:28:24
二次根式的概念、性質(zhì)以及運(yùn)算法則是根式運(yùn)算的基礎(chǔ),在進(jìn)行根式運(yùn)算時,往往用到絕對值、整式、分式、因式分解,以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等有關(guān)知識與解題方法,也就是說,根式的運(yùn)算,可以培養(yǎng)同學(xué)們綜合運(yùn)用各種知識和方法的能力.下面先復(fù)習(xí)有關(guān)基礎(chǔ)知識,然后進(jìn)行例題分析.
二次根式的性質(zhì):
二次根式的運(yùn)算法則:
設(shè)a,b,c,d,m是有理數(shù),且m不是完全平方數(shù),則當(dāng)且僅
當(dāng)兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘時,如果它們的積不含有二次根式,則這兩個代數(shù)式互為有理化因式.
例1 化簡:
法是配方去掉根號,所以
因?yàn)?/FONT>x-2<0,1-x<0,所以
原式=2-x+x-1=1.
。a-b-a+b-a+b=b-a.
說明 若根式中的字母給出了取值范圍,則應(yīng)在這個范圍內(nèi)進(jìn)行化簡;若沒有給出取值范圍,則應(yīng)在字母允許取值的范圍內(nèi)進(jìn)行化簡.
例2 化簡:
分析 兩個題分母均含有根式,若按照通常的做法是先分母有理化,這樣計算化簡較繁.我們可以先將分母因式分解后,再化簡.
解法1 配方法.
配方法是要設(shè)法找到兩個正數(shù)x,y(x>y),使x+y=a,xy=b,則
解法2 待定系數(shù)法.
例4 化簡:
(2)這是多重復(fù)合二次根式,可從里往外逐步化簡.
分析 被開方數(shù)中含有三個不同的根式,且系數(shù)都是2,可以看成
解 設(shè)
兩邊平方得
②×③×④得
(xyz)2=5×7×35=352.
因?yàn)?/FONT>x,y,z均非負(fù),所以xyz≥0,所以
xyz=35.⑤
⑤÷②,有z=7.同理有x=5,y=1.所求x,y,z顯然滿足①,所以
解 設(shè)原式=x,則
解法1 利用(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)來解.
將方程左端因式分解有
(x-4)(x2+4x+10)=0.
因?yàn)?/P>
x2+4x+10=(x+2)2+6>0,
所以x-4=0,x=4.所以原式=4.
解法2
說明 解法2看似簡單,但對于三次根號下的拼湊是很難的,因此本題解法1是一般常用的解法.
例8 化簡:
解(1)
本小題也可用換元法來化簡.
解 用換元法.
解 直接代入較繁,觀察x,y的特征有
所以
3x2-5xy+3y2=3x2+6xy+3y2-11xy
=3(x+y)2-11xy
=3×102-11×1=289.
例11 求
分析 本題的關(guān)鍵在于將根號里的乘積化簡,不可一味蠻算.
解 設(shè)根號內(nèi)的式子為A,注意到1=(2-1),及平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,所以
A=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(2256+1)+1
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)…(2256+1)+1
=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)…(2256+1)+1
=…=(2256-1)(2256+1)+1
=22×256-1+1=22×256,
的值.
分析與解 先計算幾層,看一看有無規(guī)律可循.
解 用構(gòu)造方程的方法來解.設(shè)原式為x,利用根號的層數(shù)是無限的特點(diǎn),有
兩邊平方得
兩邊再平方得
x4-4x2+4=2+x,所以x4-4x2-x+2=0.
觀察發(fā)現(xiàn),當(dāng)x=-1,2時,方程成立.因此,方程左端必有因式(x+1)(x-2),將方程左端因式分解,有
(x+1)(x-2)(x2+x-1)=0.
解 因?yàn)?/FONT>
練習(xí)七
1.化簡:
2.計算:
3.計算:
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