兩個(gè)形狀相同的圖形稱為相似圖形，最基本的相似圖形是相似三角形．對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫作相似三角形．相似比為1
的兩個(gè)相似三角形是全等三角形．因此，三角形全等是相似的特殊情況，而三角形相似是三角形全等的發(fā)展，兩者在判定方法及性質(zhì)方面有許多類似之處．因此，在研究三角形相似問(wèn)題時(shí)，我們應(yīng)該注意借鑒全等三角形的有關(guān)定理及方法．當(dāng)然，我們又必須同時(shí)注意它們之間的區(qū)別，這里，要特別注意的是比例線段在研究相似圖形中的作用．
關(guān)于相似三角形問(wèn)題的研究，我們擬分兩講來(lái)講述．本講著重探討相似三角形與比例線段的有關(guān)計(jì)算與證明問(wèn)題；下一講深入研究相似三角形的進(jìn)一步應(yīng)用．
例1 如圖2-64所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．
分析 由于BC是△ABC與△DBC的公共邊，且AB∥EF∥CD，利用平行線分三角形成相似三角形的定理，可求EF．
解 在△ABC中，因?yàn)?/FONT>EF∥AB，所以
同樣，在△DBC中有
�、伲诘�
設(shè)EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得
說(shuō)明 由證明過(guò)程我們發(fā)現(xiàn)，本題可以有以下一般結(jié)論：“如本題
請(qǐng)同學(xué)自己證明．
例2 如圖2-65所示． 
ABCD的對(duì)角線交于O，OE交BC于E，交AB的延長(zhǎng)線于F．若AB=a，BC=b，BF=c，求BE．
分析 本題所給出的已知長(zhǎng)的線段AB，BC，BF位置分散，應(yīng)設(shè)法利用平行四邊形中的等量關(guān)系，通過(guò)輔助線將長(zhǎng)度已知的線段“集中”到一個(gè)可解的圖形中來(lái)，為此，過(guò)O作OG∥BC，交AB于G，構(gòu)造出△FEB∽△FOG，進(jìn)而求解．
解 過(guò)O作OG∥BC，交AB于G．顯然，OG是△ABC的中位線，所以
在△FOG中，由于GO∥EB，所以
例3 如圖2-66所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分
分析 因?yàn)?/FONT>AD平分∠BAC(=120°)，所以∠BAD= ∠EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，則△ADE為正三角形，從而AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可實(shí)現(xiàn)求證的目標(biāo)．
證 過(guò)D引DE∥AB，交AC于E．因?yàn)?/FONT>AD是∠BAC的平分線，∠BAC=120°，所以
∠BAD=∠CAD=60°．
又
∠BAD=∠EDA=60°，
所以△ADE是正三角形，所以
EA=ED=AD． ①
由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，所以
由①，②得
從而
例4 如圖2-67所示． ABCD中，AC與BD交于O點(diǎn)，E為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OE交CD于F，EO延長(zhǎng)線交AB于G．求證：
分析 與例2類似，求證中諸線段的位置過(guò)于“分散”，因此，應(yīng)利用平行四邊形的性質(zhì)，通過(guò)添加輔助線使各線段“集中”到一個(gè)三角形中來(lái)求證．
證 延長(zhǎng)CB與EG，其延長(zhǎng)線交于H，如虛線所示，構(gòu)造平行四邊形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH，所以
在△OED與△OBH中，
∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，
所以 △OED≌△OBH(AAS)．
從而
DE=BH=AI，
例5(梅內(nèi)勞斯定理) 一條直線與三角形ABC的三邊BC，CA，AB(或其延長(zhǎng)線)分別交于D，E，F(如圖2-68所示)．求
分析 設(shè)法引輔助線(平行線)將求證中所述諸線段“集中”到同一直線上進(jìn)行求證．
證 過(guò)B引BG∥EF，交AC于G．由平行線截線段成比例性質(zhì)知
說(shuō)明 本題也可過(guò)C引CG∥EF交AB延長(zhǎng)線于G，將求證中所述諸線段“集中”到邊AB所在直線上進(jìn)行求證．
例6 如圖2-69所示．P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作線段DE，FG，HI分別平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．
分析 由于圖中平行線段甚多，因而產(chǎn)生諸多相似三角形及平行四邊形．利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)及平行四邊形對(duì)邊相等的性質(zhì)，首先得到一個(gè)一般關(guān)系：
進(jìn)而求d．
因?yàn)?/FONT>FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，易知，四邊形AIPE，BDPF，CGPH均是平行四邊形．△BHI∽△AFG∽△ABC，從而
將②代入①左端得
因?yàn)?/P>
DE=PE＋PD=AI＋FB， ④
AF=AI＋FI， ⑤
BI=IF＋FB． ⑥
由④，⑤，⑥知，③的分子為
DE＋AF＋BI=2×(AI＋IF＋FB)=2AB．
從而
即
下面計(jì)算d．
因?yàn)?/FONT>DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，代入①得
解得d＝306．
練習(xí)十五
1．如圖2-70所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O點(diǎn)，過(guò)O的直線分別交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．
2．已知P為ABCD邊BC上任意一點(diǎn)，DP交AB的延長(zhǎng)線于Q
3．如圖 2-72所示．梯形 ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN與對(duì)角線BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．
4．P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作DE，FG，IH分別平行于AB，BC，CA(如圖2-73所示)．求證：
5．如圖 2-74所示．在梯形 ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一條直線交BA延長(zhǎng)線于E，交DC延長(zhǎng)線于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=CH=HI=HJ，求DC∶AB．
6．已知P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連AP，BP，CP并延長(zhǎng)分別交對(duì)邊于D，E，F．求證：
不少于2．
歡迎使用手機(jī)、平板等移動(dòng)設(shè)備訪問(wèn)中考網(wǎng)，2023中考一路陪伴同行！>>點(diǎn)擊查看
