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第一講 分式方程(組)的解法

來源:初中數(shù)學(xué)競賽 2005-09-09 16:20:06

中考真題

智能內(nèi)容
分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.解分式方程的基本思想是轉(zhuǎn)化為整式方程求解,轉(zhuǎn)化的基本方法是去分母、換元,但也要靈活運(yùn)用,注意方程的特點(diǎn)進(jìn)行有效的變形.變形時(shí)可能會擴(kuò)大(或縮小)未知數(shù)的取值范圍,故必須驗(yàn)根.

  1 解方程

    

   y=x22x-8,那么原方程為

    

去分母得

  y(y-15x)(y+9x)(y-15x)y(y9x)=0,

  y2-4xy-45x2=0

  (y+5x)(y-9x)=0,

所以 y=9xy=-5x

y=9xx2+2x-8=9x,即x2-7x-8=0,所以x1=-1x2=8;由y=-5x,得x2+2x-8=-5x,即x27x-8=0,所以x3=-8,x4=1

  經(jīng)檢驗(yàn),它們都是原方程的根.

  2 解方程

     

   

       

y2-18y+72=0,

所以 y1=6y2=12

  x2-2x6=0

此方程無實(shí)數(shù)根.

  

x2-8x+12=0,

所以 x1=2x2=6

  經(jīng)檢驗(yàn),x1=2,x2=6是原方程的實(shí)數(shù)根.

  3 解方程

    

  分析與解 我們注意到:各分式的分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù),故可考慮先用多項(xiàng)式除法化簡分式.原方程可變?yōu)?/FONT>

  

整理得

  

去分母、整理得

x9=0x=-9

  經(jīng)檢驗(yàn)知,x=-9是原方程的根.

  4 解方程

  

  分析與解 方程中各項(xiàng)的分子與分母之差都是1,根據(jù)這一特點(diǎn)把每個(gè)分式化為整式和真分式之和,這樣原方程即可化簡.原方程化為

  

  

所以

       ((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)

 

  

  5 解方程

    

  分析與解 注意到方程左邊每個(gè)分式的分母中兩個(gè)一次因式的差均為常數(shù)1,故可考慮把一個(gè)分式拆成兩個(gè)分式之差的形式,用拆項(xiàng)相消進(jìn)行化簡.原方程變形為

  

整理得

  

去分母得

x29x-220,

解得 x1=2x2=-11

  經(jīng)檢驗(yàn)知,x1=2x2=-11是原方程的根.

  6 解方程

     

  次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)符號相反,故可考慮用合比定理化簡.原方程變形為

  

所以

      x=02x2-3x-2=2x2+5x-3

 

  

  7 解方程

    

  分析與解 形式與上例相似.本題中分子與分母只是一次項(xiàng)的符號相反,故可考慮用合分比定理化簡.原方程變形為

   

當(dāng)x0時(shí),解得x=±1

  經(jīng)檢驗(yàn),x=±1是原方程的根,且x=0也是原方程的根.

  說明 使用合分比定理化簡時(shí),可能發(fā)生增根和失根的現(xiàn)象,需細(xì)致檢驗(yàn).

  

 

  8 解方程

    

   將原方程變形為

     

 

          

 

   

   

  9 解關(guān)于x的方程

     

   

           

 

  

  x1=a-2bx2=b-2a代入分母b+x,得a-b2(b-a),所以,當(dāng)ab時(shí),x1=a-2bx2=b-2a都是原方程的根.當(dāng)a=b時(shí),原方程無解.

  10 如果方程

    

只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,求a的值及對應(yīng)的原方程的根.

  分析與解 將原方程變形,轉(zhuǎn)化為整式方程后得

2x2-2x+(a+4)=0

原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,因此,方程①的根的情況只能是:(1)方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,即

=4-4?2(a+4)=0

 

  (2)方程①有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,而其中一根使原方程分母為零,即方程①有一個(gè)根為02

  (i)當(dāng)x=0時(shí),代入①式得a+4=0,即a=-4.這時(shí)方程①的另一個(gè)根是x=1(因?yàn)?/FONT>2x2-2x=0x(x-1)=0,x1=0x21.而x10是增根).它不使分母為零,確是原方程的唯一根.

  (ii)當(dāng)x=2時(shí),代入①式,得

2×4-2×2(a+4)=0,

a=-8.這時(shí)方程①的另一個(gè)根是x=-1(因?yàn)?/FONT>2x2-2x-4=0(x-2)(x+1)=0,所以x1=2(增根),x2=-1).它不使分母為零,確是原方程的唯一根.

   因此,若原分式方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí),所求的a的值分別是

練習(xí)一

  1.填空:

   

    

  (3)如果關(guān)于x的方程

          

有增根x=1,則k=____

  

  2.解方程

  

  3.解方程

  

  4.解方程

  

  5.解方程

  

  6.解方程

  

  7m是什么數(shù)值時(shí),方程 

  

有根?

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