來源:初中數(shù)學(xué)競賽 2005-09-09 16:24:35
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1,x2,那么
反過來,如果x1,x2滿足x1+x2=p,x1x2=q,則x1,x2是一元二次方程x2-px+q=0的兩個(gè)根.一元二次方程的韋達(dá)定理,揭示了根與系數(shù)的一種必然聯(lián)系.利用這個(gè)關(guān)系,我們可以解決諸如已知一根求另一根、求根的代數(shù)式的值、構(gòu)造方程、證明等式和不等式等問題,它是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)有用的工具.
1.已知一個(gè)根,求另一個(gè)根
利用韋達(dá)定理,我們可以通過方程的一個(gè)根,求出另一個(gè)根.
例1 方程(1998x)2-1997?1999x-1=0的大根為a,方程x2+1998x-1999=0的小根為b,求a-b的值.
解 先求出a,b.
由觀察知,1是方程(1998x)2-1997?1999x-1=0的根,于是由韋達(dá)
又從觀察知,1也是方程x2+1998x-1999=0的根,此方程的另一根為-1999,從而b=-1999.
所以a-b=1-(-1999)=2000.
例2 設(shè)a是給定的非零實(shí)數(shù),解方程
解 由觀察易知,x1=a是方程的根.又原方程等價(jià)于
2.求根的代數(shù)式的值
在求根的代數(shù)式的值的問題中,要靈活運(yùn)用乘法公式和代數(shù)式的恒等變形技巧.
例3 已知二次方程x2-3x+1=0的兩根為α,β,求:
(3)α3+β3;(4)α3-β3.
解 由韋達(dá)定理知
α+β=3,αβ=1.
(3)α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)
=(α+β)[(α+β)2-3αβ]
=3(9-3)=18;
(4)α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2)
=(α-β)[(α+β)2-αβ]
例4 設(shè)方程4x2-2x-3=0的兩個(gè)根是α和β,求4α2+2β的值.
解 因?yàn)棣潦欠匠?/FONT>4x2-2x-3=0的根,所以
4α2-2α-3=0,
即
4α2=2α+3.
4α2+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4.
例5 已知α,β分別是方程x2+x-1=0的兩個(gè)根,求2α5+5β3的值.
解 由于α,β分別是方程x2+x-1=0的根,所以
α2+α-1=0,β2+β-1=0,
即 α2=1-α,β2=1-β.
α5=(α2)2?α=(1-α)2α=(α2-2α+1)α
=(1-α-2α+1)α=-3α2+2α
=-3(1-α)+2α=5α-3,
β3=β2?β=(1-β)β=β-β2
=β-(1-β)=2β-1.
所以
2α5+5β3=2(5α-3)+5(2β-1)
=10(α+β)-11=-21.
說明 此解法的關(guān)鍵在于利用α,β是方程的根,從而可以把它們的冪指數(shù)降次,最后都降到一次,這種方法很重要.
例6 設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)根的和為s1,平方和為s2,立方和為s3,求as3+bs2+cs1的值.
解 設(shè)x1,x2是方程的兩個(gè)實(shí)根,于是
所以 as3+bs2+cs1=0.
說明 本題最“自然”的解法是分別用a,b,c來表示s1,s2,s3,然后再求as3+bs2+cs1的值.當(dāng)然這樣做運(yùn)算量很大,且容易出錯(cuò).下面我們再介紹一種更為“本質(zhì)”的解法.
另解 因?yàn)?/FONT>x1,x2是方程的兩個(gè)實(shí)根,所以
同理
將上面兩式相加便得
as3+bs2+cs1=0.
3.與兩根之比有關(guān)的問題
例7 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根之比等于常數(shù)k,則系數(shù)a,b,c必滿足:
kb2=(k+1)2ac.
證 設(shè)方程的兩根為x1,x2,且x1=kx2,由韋達(dá)定理
由此兩式消去x2得
即
kb2=(k+1)2ac.
例8 已知x1,x2是一元二次方程
4x2-(3m-5)x-6m2=0
解 首先,△=(3m-5)2+96m2>0,方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.由韋達(dá)定理知
從上面兩式中消去k,便得
即 m2-6m+5=0,
所以 m1=1,m2=5.
4.求作新的二次方程
例9 已知方程2x2-9x+8=0,求作一個(gè)二次方程,使它的一個(gè)根為原方程兩根和的倒數(shù),另一根為原方程兩根差的平方.
解 設(shè)x1,x2為方程2x2-9x+8=0的兩根,則
設(shè)所求方程為x2+px+q=0,它的兩根為x'1,x'2,據(jù)題意有
故
所以,求作的方程是
36x2-161x+34=0.
例10 設(shè)x2-px+q=0的兩實(shí)數(shù)根為α,β.
(1)求以α3,β3為兩根的一元二次方程;
(2)若以α3,β3為根的一元二次方程仍是x2-px+q=0,求所有這樣的一元二次方程.
解 (1)由韋達(dá)定理知
α+β=p,αβ=q,
所以
α3+β3=(α+β)[(α+β)2-3αβ]=p(p2-3q),
α3?β3=(αβ)3=q3.
所以,以α3,β3為兩根的一元二次方程為
x2-p(p2-3q)x+q3=0.
(2)由(1)及題設(shè)知
由②得q=0,±1.若q=0,代入①,得p=0,±1;若q=-1,代入①,
以,符合要求的方程為
x2=0,x2-x=0,x2+x=0,x2-1=0.
5.證明等式和不等式
利用韋達(dá)定理可以證明一些等式和不等式,這常常還要用判別式來配合.
例11 已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足
x=6-y,z2=xy-9,
求證:x=y.
證 因?yàn)?/FONT>x+y=6,xy=z2+9,所以x,y是二次方程
t2-6t+(z2+9)=0
的兩個(gè)實(shí)根,于是這方程的判別式
△=36-4(z2+9)=-4z2≥0,
即z2≤0.因z為實(shí)數(shù),顯然應(yīng)有z2≥0.要此兩式同時(shí)成立,只有z=0,從而△=0,故上述關(guān)于t的二次方程有等根,即x=y.
例12 若a,b,c都是實(shí)數(shù),且
a+b+c=0,abc=1,
證 由a+b+c=0及abc=1可知,a,b,c中有一個(gè)正數(shù)、兩個(gè)負(fù)數(shù),不妨設(shè)a是正數(shù),由題意得
于是根據(jù)韋達(dá)定理知,b,c是方程
的兩個(gè)根.又b,c是實(shí)數(shù),因此上述方程的判別式
因?yàn)?/FONT>a>0,所以
a3-4≥0,a3≥4,
例13 知x1,x2是方程4ax2-4ax+a+4=0的兩個(gè)實(shí)根.
解 (1)顯然a≠0,由△=16a2-16a(a+4)≥0,得a<0.由韋達(dá)定理知
所以
所以a=9,這與a<0矛盾.故不存在a,使
(2)利用韋達(dá)定理
所以(a+4)|16,即a+4=±1,±2,±4,±8,±16.結(jié)合a<0,得a=-2,-3,-5,-6,-8,-12,-20.
練習(xí)八
1.選擇:
(1)若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,則判別式△=b2-4ac與平方式M=(2ax0+b)2的關(guān)系是 [ ]
(A)△>M (B)△=M
(C)△=<M (D)不確定
(2)方程x2+px+1997=0恰有兩個(gè)正整數(shù)根x1,x2,則
[ ]
(A)-4 (B)8
(C)6 (D)0
為 [ ]
(A)3 (B)-11
(C)3或-11 (D)11
2.填空:
(1)如果方程x2+px+q=0的一根為另一根的2倍,那么,p,q滿足的關(guān)系式是______.
(2)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0沒有實(shí)數(shù)根,甲由于看錯(cuò)了二次項(xiàng)系數(shù),誤求得兩根為2和4,乙由于看錯(cuò)了某一項(xiàng)系數(shù)的符號,
1993+5a2+9a4=_______.
(4)已知a是方程x2-5x+1=0的一個(gè)根,那么a4+a-4的末位數(shù)是______.
另一根為直角邊a,則此直角三角形的第三邊b=______.
3.已知α,β是方程x2-x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求α4+3β的值.
4.作一個(gè)二次方程,使它的兩個(gè)根α,β是正數(shù),并且滿足關(guān)系式
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