函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一條主線(xiàn)，也是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念．它使我們從研究常量發(fā)展到研究變量之間的關(guān)系，這是對(duì)事物認(rèn)識(shí)的一大飛躍，而且對(duì)于函數(shù)及其圖像的研究，使我們把數(shù)與形結(jié)合起來(lái)了．學(xué)習(xí)函數(shù)，不僅要掌握基本的概念，而且要把解析式、圖像和性質(zhì)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，在解題中自覺(jué)地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，從圖像和性質(zhì)對(duì)函數(shù)進(jìn)行深入的研究．
1．求函數(shù)值和函數(shù)表達(dá)式
對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若任取x=a(a為一常數(shù))，則可求出所對(duì)應(yīng)的y值f(a)，此時(shí)y的值就稱(chēng)為當(dāng)x=a時(shí)的函數(shù)值．我們經(jīng)常會(huì)遇到求函數(shù)值與確定函數(shù)表達(dá)式的問(wèn)題．
例1 已知f(x-1)=19x2＋55x-44，求f(x)．
解法1 令y=x-1，則x=y+1，代入原式有
f(y)=19(y＋1)2＋55(y＋1)-44
＝19y2＋93y＋30，
所以 f(x)=19x2+93x＋30．
解法2 f(x-1)=19(x-1)2＋93(x-1)+30，所以f(x)=19x2＋93x＋30．
可．
例3 已知函數(shù)f(x)=ax5-bx3＋x＋5，其中a，b為常數(shù)．若f(5)=7，求f(-5)．
解 由題設(shè)
f(-x)=-ax5＋bx3-x＋5
=-(ax5-bx3＋x＋5)+10
=-f(x)+10，
所以
f(-5)=-f(5)＋10=3．
例4 函數(shù)f(x)的定義域是全體實(shí)數(shù)，并且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，有f(x+y)=f(xy)．若f(19)=99，求f(1999)．
解 設(shè)f(0)=k，令y=0代入已知條件得
f(x)=f(x+0)=f(x?0)=f(0)=k，
即對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x)=k．所以
f(x)=f(19)=99，
所以f(1999)=99．
2．建立函數(shù)關(guān)系式
例5 直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)A(0，2)，B(2，0)，直線(xiàn)l2：y=mx＋b過(guò)點(diǎn)C(1，0)，且把△AOB分成兩部分，其中靠近原點(diǎn)的那部分是一個(gè)三角形，如圖3－1．設(shè)此三角形的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，并畫(huà)出圖像．
解 因?yàn)?/FONT>l2過(guò)點(diǎn)C(1，0)，所以m＋b=0，即b=-m．
設(shè)l2與y軸交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，-m)，且0＜-m≤2(這是因?yàn)辄c(diǎn)D在線(xiàn)段OA上，且不能與O點(diǎn)重合)，即-2≤m＜0．
故S的函數(shù)解析式為
例6 已知矩形的長(zhǎng)大于寬的2倍，周長(zhǎng)為12．從它的一個(gè)頂點(diǎn)作一條射線(xiàn)，將矩形分成一個(gè)三角形和一個(gè)梯形，且這條射線(xiàn)與矩形一邊
x，試寫(xiě)出梯形面積S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
解 設(shè)矩形ABCD的長(zhǎng)BC大于寬AB的2倍．由于周長(zhǎng)為12，故長(zhǎng)與寬滿(mǎn)足4＜BC＜6，0＜AB＜2．
由題意，有如下兩種情形：
CE1＝x，BE1＝BC-x，AB＝CD＝2(BC-x)，所以
(2AB＋x)+AB=6，
所以
3．含絕對(duì)值的函數(shù)
一次函數(shù)的圖像是一條直線(xiàn)，含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)所對(duì)應(yīng)的圖像是由若干條線(xiàn)段和射線(xiàn)所組成的折線(xiàn)；二次函數(shù)的圖像是拋物線(xiàn)，而y=|ax2＋bx＋c|的圖像是將y=ax2+bx+c在x軸下方的圖像按x軸為對(duì)稱(chēng)軸翻到x軸的上方．對(duì)于一些其他的含絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)和方程的圖像，需要按區(qū)間分段討論．
例7 作函數(shù)y=|3-x|+|x-1|的圖像．
解 當(dāng)x＜1時(shí)，y=(3-x)+(1-x)=-2x+4；
當(dāng)1≤x＜3時(shí)，y=(3-x)＋(x-1)=2；當(dāng)x≥3時(shí)，y=(x-3)＋(x-1)=2x-4．所以
它的圖像如圖3－3所示．
例8 作函數(shù)y=|x2-5x+6|的圖像．
解 當(dāng)x≤2或x≥3時(shí)，x2-5x+6≥0，于是y=x2-5x+6；當(dāng)2＜x＜3時(shí)，x2-5x+6＜0，于是y=-(x2-5x+6)．所以
于是，得圖像如圖3－4所示．
例9 點(diǎn)(x，y)滿(mǎn)足方程
|x-1|+|y+2|=2，
求它的圖像所圍成區(qū)域的面積．
解 當(dāng)x≥1，y≥-2時(shí)，x-1＋y＋2=2，即
y=-x+1．
當(dāng)x≥1，x＜-2時(shí)，x-1-(y＋2)=2，即
y=x-5．
當(dāng)x＜1，y≥-2時(shí)，-x+1+y＋2=2，即
y=x-1．
當(dāng)x＜1，y＜-2時(shí)，-x＋1-(y＋2)=2，即
y=-x-3．
于是，所得圖像如圖3－5所示．
由此可知，|x-1|+|y+2|=2的圖像是一個(gè)對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為4，邊長(zhǎng)為2
例10 m是什么實(shí)數(shù)時(shí)，方程x2-4|x|＋5=m有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根？
解法1 將原方程變形為
x2-4|x|＋4=m-1．
令y=x2-4|x|+4=m-1，則
它的圖像如圖3－6，而y=m-1是一條與x軸平行的直線(xiàn)．原方程有四個(gè)互不相等的實(shí)根，即直線(xiàn)應(yīng)與曲線(xiàn)有四個(gè)不同的交點(diǎn)．由圖像可知，當(dāng)0＜m-1＜4，即1＜m＜5時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)有四個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，當(dāng)1＜m＜5時(shí)，方程x2-4|x|＋5=m有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根．
說(shuō)明 本題是一個(gè)方程問(wèn)題，我們利用圖形來(lái)研究，這是一種非常重要的思想方法――數(shù)形結(jié)合法．當(dāng)然，本題不用圖像也是可以解的，下面給出解法，請(qǐng)讀者比較一下．
解法2 原方程變形為
(|x|-2)2＝m-1，
練習(xí)五
1．填空：
(1)已知f(x-1)=19x2＋55x-44，則f(x)=_______．
(2)對(duì)所有實(shí)數(shù)x，f(x2+1)=x4＋5x2＋3，那么對(duì)所有實(shí)數(shù)x，f(x2-1)=_______．
(3)設(shè)x與y2成反比例，y與z2成正比例．當(dāng)x=24時(shí)，y=2；當(dāng)y=18時(shí)，z=3，則z=1時(shí)，x=_______．
(4)已知y=2x2＋mx＋5的值恒為正，且m為實(shí)數(shù)，則m的范圍是_______．
函數(shù)，且當(dāng)x=2，x=3時(shí)，y的值都為19，則y的解析式為y=_______．
(6)如果y＋m與x＋n成正比例，且當(dāng)x=1時(shí)，y=2；當(dāng)x=-1時(shí)，y=1，則y與x間的函數(shù)關(guān)系式是y=_______．
2．在平面直角坐標(biāo)系里，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，0)，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)一次函數(shù)y=-x＋6的圖像上的點(diǎn)，原點(diǎn)是O，如果△OPA的面積為S，P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
3．平面直角坐標(biāo)上有點(diǎn)P(-1，-2)和點(diǎn)Q(4，2)，取點(diǎn)R(1，m)，試問(wèn)當(dāng)m為何值時(shí)，PR＋RQ有最小值．
試求k的取值范圍．
5．設(shè)y=|x+2|+|x-4|-|2x-6|，且2≤x≤8，試求y的最大值與最小值之和．
6．作y=2|x-3|，y=x-a的圖像，問(wèn)a取什么值時(shí)，它們可以圍出一個(gè)平面區(qū)域，并求其面積．
7．m是什么實(shí)數(shù)時(shí)，方程|x2-4x+3|=m有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解．
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