二次函數(shù)是一類(lèi)十分重要的最基本的初等函數(shù)，也是初中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，它在中學(xué)數(shù)學(xué)中起著承上啟下的作用，它與一元二次方程、一元二次不等式知識(shí)的綜合運(yùn)用，是初中代數(shù)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一．另外，二次函數(shù)在工程技術(shù)、商業(yè)、金融以及日常生活中都有著廣泛的應(yīng)用．通過(guò)對(duì)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，使我們能進(jìn)一步理解函數(shù)思想和函數(shù)方法，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．正確掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是學(xué)好二次函數(shù)的關(guān)鍵．
1．二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)
例1 (1)設(shè)拋物線y=2x2，把它向右平移p個(gè)單位，或向下移q個(gè)單位，都能使得拋物線與直線y=x-4恰好有一個(gè)交點(diǎn)，求p，q的值．
(2)把拋物線y=2x2向左平移p個(gè)單位，向上平移q個(gè)單位，則得到的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，3)與(4，9)，求p，q的值．
(3)把拋物線y=ax2＋bx＋c向左平移三個(gè)單位，向下平移兩個(gè)單位
析式．
解 (1)拋物線y=2x2向右平移p個(gè)單位后，得到的拋物線為y=2(x-p)2．于是方程
2(x-p)2=x-4
有兩個(gè)相同的根，即方程
2x2-(4p+1)x+2p2＋4=0
的判別式
△=(4p+1)2-4?2?(2p2＋4)=0，
拋物線y=2x2向下平移q個(gè)單位，得到拋物線y=2x2-q．于是方程2x2-q=x-4
有兩個(gè)相同的根，即
△=1-4?2(4-q)=0，
(2)把y=2x2向左平移p個(gè)單位，向上平移q個(gè)單位，得到的拋物線為y=2(x+p)2＋q．于是，由題設(shè)得
解得p=-2，q=1，即拋物線向右平移了兩個(gè)單位，向上平移了一個(gè)單位．
解得h=3，k=2．原二次函數(shù)為
說(shuō)明 將拋物線y=ax2＋bx＋c向右平移p個(gè)單位，得到的拋物線是y=a(x-p)2＋b(x-p)＋c；向左平移p個(gè)單位，得到的拋物線是y=a(x＋p)2＋b(x＋p)＋c；向上平移q個(gè)單位，得到y=ax2＋bx＋c＋q；向下平移q個(gè)單位，得到y=ax2＋bx＋c-q．
例2 已知拋物線y=ax2＋bx＋c的一段圖像如圖3－7所示．
(1)確定a，b，c的符號(hào)；
(2)求a＋b＋c的取值范圍．
解 (1)由于拋物線開(kāi)口向上，所以a＞0．又拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，-1)，
合a＞0便知b＜0．所以a＞0，b＜0，c＜0．
(2)記f(x)=ax2＋bx＋c．由圖像及(1)知
所以
a+b＋c=a＋(a-1)-1=2(a-1)，
-2＜a＋b＋c＜0．
例3 已知拋物線y=ax2-(a＋c)x+c(其中a≠c)不經(jīng)過(guò)第二象限．
(1)判斷這條拋物線的頂點(diǎn)A(x0，y0)所在的象限，并說(shuō)明理由；
(2)若經(jīng)過(guò)這條拋物線頂點(diǎn)A(x0，y0)的直線y=-x+k與拋物線的另一
解 (1)因?yàn)槿?/FONT>a＞0，則拋物線開(kāi)口向上，于是拋物線一定經(jīng)過(guò)第二象限，所以當(dāng)拋物線y=ax2-(a＋c)x+c的圖像不經(jīng)過(guò)第二象限時(shí)，必有a＜0．又當(dāng)x=0時(shí)，y=c，即拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0，c)．因?yàn)閽佄锞�不經(jīng)過(guò)第二象限，所以c≤0．于是
所以頂點(diǎn)A(x0，y0)在第一象限．
B在直線y=-x+k上，所以0=-1+k，所以k=1．又由于直線y=-x+1經(jīng)過(guò)
-2x2+2x．
2．求二次函數(shù)的解析式
求二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c(a≠0)的解析式，需要三個(gè)獨(dú)立的條件確定三個(gè)系數(shù)a，b，c．一般地有如下幾種情況：
(1)已知拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，此時(shí)可把三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得到關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，解方程組可得系數(shù)a，b，c．或者已知拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，這時(shí)把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得兩個(gè)方程，再利用其他條件可確定a，b，c．或者已知拋物線經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，這時(shí)把這點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合其他條件確定a，b，c．
(2)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)，這時(shí)拋物線可設(shè)為
y＝a(x-h)2＋k，
再結(jié)合其他條件求出a．
(3)已知拋物線與x軸相交于兩點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)，此時(shí)的拋物線可設(shè)為
y=a(x-x1)(x-x2)，
再結(jié)合其他條件求出a．
例4 設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2＋bx＋c滿足條件：f(0)=2，f(1)=-1，
解 由f(0)=2，f(1)＝－1，得
即c=2，b=-(a＋3)．因此所求的二次函數(shù)是
y＝ax2-(a＋3)x＋2．
由于二次函數(shù)的圖像在x軸上所截得的線段長(zhǎng)，就是方程ax2-(a＋3)x＋2=0兩根差的絕對(duì)值，而這二次方程的兩根為
于是
因此所求的二次函數(shù)表達(dá)式為
例5 設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2＋bx+c，當(dāng)x=3時(shí)取得最大值10，并且它的圖像在x軸上截得的線段長(zhǎng)為4，求a，b，c的值．
分析 當(dāng)x=3時(shí)，取得最大值10的二次函數(shù)可寫(xiě)成f(x)＝a(x-3)2＋10，且a＜0．
解 因?yàn)閽佄锞�的對(duì)稱軸是x=3，又因?yàn)閳D像在x軸上截得的線段長(zhǎng)是4，所以由對(duì)稱性，圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是1，5．因此，二次函數(shù)又可寫(xiě)成
f(x)=a(x-1)(x-5)
的形式，從而
a(x-3)2+10=a(x-1)(x-5)，
所以
例6 如圖3－8，已知二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c(a＞0，b＜0)的圖像與x軸、y軸都只有一個(gè)公共點(diǎn)，分別為點(diǎn)A，B，且AB=2，b＋2ac=0．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)若一次函數(shù)y=x＋k的圖像過(guò)點(diǎn)A，并和二次函數(shù)的圖像相交于另一點(diǎn)C，求△ABC的面積．
解 (1)因二次函數(shù)的圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，故b2-4ac＝0，而b+2ac=0，所以
b2＋2b=0，
b=-2(因?yàn)?/FONT>b＜0)．
點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，c)，AB=2，由勾股定理得
所以 1＋a2c2=4a2．
因?yàn)?/FONT>ac=1，所以
4a2=2，
練習(xí)六
1．填空：
(1)將拋物線y=2(x-1)2+2向右平移一個(gè)單位，再向上平移三個(gè)單位，得到的圖像的解析式為______．
(2)已知y=x2＋px＋q的圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)(-1，0)，則(p，q)=____．
(3)已知二次函數(shù)y=a(x-h)2＋k的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，最小值為-8，且形
(4)二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖像過(guò)點(diǎn)A(-1，0)，B(-3，2)，且它與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為4，則它的解析式為________．
(5)已知二次函數(shù)y=x2-4x＋m＋8的圖像與一次函數(shù)y=kx+1的圖像相交于點(diǎn)(3，4)，則m=___，k=_____．
(6)關(guān)于自變量x的二次函數(shù)y=-x2＋(2m＋2)x-(m2+4m-3)中，m是不小于零的整數(shù)，它的圖像與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)A在原點(diǎn)左邊，點(diǎn)B在原點(diǎn)右邊，則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為____．
2．設(shè)拋物線y=x2＋2ax＋b與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
(1)把它沿y軸平移，使所得到的拋物線在x軸上截得的線段的長(zhǎng)度是原來(lái)的2倍，求所得到的拋物線；
(2)通過(guò)(1)中所得曲線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，及原來(lái)的拋物線的頂點(diǎn)，作一條新的拋物線，求它的解析式．
3．已知拋物線y=ax2＋bx＋c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C．
(2)若△ABC是等腰直角三角形，求b2-4ac的值；
(3)若b2-4ac=12，試判斷△ABC的形狀．
4．有兩個(gè)關(guān)于x的二次函數(shù)C1：y=ax2＋4x＋3a和C2：y=x2+2(b＋2)x+b2+3b．當(dāng)把C1沿x軸向左平移一個(gè)單位后，所得拋物線的頂點(diǎn)恰與C2的頂點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，求a，b．
5．已知二次函數(shù)y＝x2-2bx+b2+c的圖像與直線y=1-x只有一個(gè)公共點(diǎn)，并且頂點(diǎn)在二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖像上，求a的取值范圍．
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