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第七講 函數(shù)的最大值與最小值

來源:初中數(shù)學(xué)競賽 2005-09-09 16:24:01

中考真題

智能內(nèi)容
我們常常遇到求最大值和最小值的問題,在許多情況下可以歸結(jié)為求函數(shù)的最大值與最小值.這類問題涉及的知識面廣,綜合性強,解法靈活,因而對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力具有重要作用.本講從四個方面來討論如何求解函數(shù)的最大值與最小值問題.

  1.一次函數(shù)的最大值與最小值

  一次函數(shù)y=kxb在其定義域(全體實數(shù))內(nèi)是沒有最大值和最小值的,但是,如果對自變量x的取值范圍有所限制時,一次函數(shù)就可能有最大值和最小值了.

  例1 設(shè)a是大于零的常數(shù),且a1,y的最大值與最小值.

   

   

大值a

   

 

  例2 已知x,y,z是非負實數(shù),且滿足條件

xyz=30,3x+y-z=50

  求u=5x4y2z的最大值和最小值.

  分析 題設(shè)條件給出兩個方程,三個未知數(shù)x,y,z,當(dāng)然,x,yz的具體數(shù)值是不能求出的.但是,我們固定其中一個,不妨固定x,那么y,z都可以用x來表示,于是u便是x的函數(shù)了.

  解 從已知條件可解得

y=40-2xz=x-10

  所以

  u=5x4y+2z

   =5x4(40-2x)2(x-10)

   =-x+140

  又y,z均為非負實數(shù),所以

            

  解得10x20

  由于函數(shù)u=-x140是隨著x的增加而減小的,所以當(dāng)x=10時,u有最大值130;當(dāng)x=20時,u有最小值120  

  2.二次函數(shù)的最大值與最小值

  例3 已知x1x2是方程

x2-(k-2)x(k2+3k+5)=0

  

  解 由于二次方程有實根,所以

=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)0,

3k216k160,

   


   

  例4 已知函數(shù)

 

  有最大值-3,求實數(shù)a的值.

 

  解 因為

 

  的范圍內(nèi)分三種情況討論.

   

-a24a-1-3

  

  

 

  


   

   

   

  例5 已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE(如圖312),其中AF=2BF=1.試在AB上求一點P,使矩形PNDM有最大面積.

 

  解 設(shè)矩形PNDM的邊DN=xNP=y,于是矩形PNDM的面積

S=xy2X4

  易知CN=4-xEM=4-y,且有

           

   

   

  二次函數(shù)S=f(x)的圖像開口向下,對稱軸為x=5,故當(dāng)x5時,函數(shù)值是隨x的增加而增加,所以,對滿足2x4S來說,當(dāng)x=4時有最大值

  

  例6 設(shè)p0x=p時,二次函數(shù)f(x)有最大值5,二次函數(shù)g(x)的最小值為-2,且g(p)=25,f(x)+g(x)=x2+16x+13.求g(x)的解析式和p的值.

  解 由題設(shè)知

f(p)=5,g(p)=25,

f(p)g(p)=p216p13,

  所以 p216p+13=30,

p=1(p=-17舍去)

  由于f(x)x=1時有最大值5,故設(shè)

f(x)=a(x-1)2+5,a0,

  所以

    g(x)=x2+16x+13-f(x)

      =(1-a)x2+2(a8)x8-a

  由于g(x)的最小值是-2,于是

  解得a=-2,從而

g(x)=3x212x10

  3.分式函數(shù)的最大值與最小值

  法是去分母后,化為關(guān)于x的二次方程,然后用判別式△≥0,得出y的取值范圍,進而定出y的最大值和最小值.

  

  解 去分母、整理得

(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0

  △≥0,即

=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y3)0,

  解得     -4y1

  時,取最小值-4,當(dāng)x=-2時,y取最大值1

  說明 本題求最值的方法叫作判別法,這也是一種常用的方法.但在用判別法求最值時,應(yīng)特別注意這個最值能否取到,即是否有與最值相應(yīng)的x值.

  

  解 將原函數(shù)去分母,并整理得

yx2-ax(y-b)0

  因x是實數(shù),故

=(-a)2-4?y?(y-b)0,

  

  由題設(shè)知,y的最大值為4,最小值為-1,所以

(y+1)(y-4)0,

  即                 y2-3y-40.  

  由①,②得

     

  

  所以a=±4,b=3

  4.其他函數(shù)的最大值與最小值

  處理一般函數(shù)的最大值與最小值,我們常常用不等式來估計上界或下界,進而構(gòu)造例子來說明能取到這個上界或下界.

  

  解 先估計y的下界.

  又當(dāng)x=1時,y=1,所以,y的最小值為1

  說明 在求最小()值,估計了下()界后,一定要舉例說明這個界是能取到的,才能說這就是最小()值,否則就不一定對了.例如,本題我們也可以這樣估計:

  但無論x取什么值時,y取不到-3,即-3不能作為y的最小值.

  例10 設(shè)xy是實數(shù),求u=x2xy+y2-x-2y的最小值.

  分析 先將u看作是x的二次函數(shù)(y看作常數(shù)),進行配方后,再把余下的關(guān)于y的代數(shù)式寫成y的二次函數(shù),再配方后,便可估計出下界來.

  

  又當(dāng)x=0,y=1時,u=-1,所以,u的最小值為-1

  例11 求函數(shù)

         

  的最大值,并求此時的x值,其中[a]表示不超過a的最大整數(shù).

   

   

 

  

練習(xí)七

  1.填空:

  (1)函數(shù)y=x22x-3(0x3)的最小值是_____,最大值是_______

  

  (3)已知函數(shù)y=x2+2ax+1(-1x2)的最大值是4,則a=_____

  _______

  (5)設(shè)函數(shù)y=-x2-2kx-3k2-4k-5的最大值是M,為使M最大,k=_____

  

  2.設(shè)f(x)=kx1x的函數(shù),以m(k)表示函數(shù)f(x)=kx1-1x3條件下的最大值,求函數(shù)m(k)的解析式和其最小值.

  3x,yz是非負實數(shù),且滿足x3y2z=3,3x3yz=4.求u=3x-2y+4z的最大值與最小值.

  4.已知x22y2=1,求2x5y2的最大值和最小值.

  交點間的距離的平方最小,求m的值.

  6.已知二次函數(shù)y=x22(a3)x2a4的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)分別為α,β,當(dāng)實數(shù)a變動時,求(α-1)2(β-1)2的最小值.

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