一道中考數(shù)學壓軸題給我們的啟迪

　　一道中考數(shù)學壓軸題給我們的啟迪，從2005年各市的中考數(shù)學壓軸題中好好總結一下，這對我們?nèi)缃竦慕逃�教學和升學考試指導等工作將是十分有益的。
　　首先我們來看一下改革前沿的上海市中考數(shù)學壓軸題，然后再加以分析和解答。

　　例題：（2005年上海市中考數(shù)學最后一題第25題）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是邊AC上的一個動點，以0為圓心作半圓，與邊AB相切于點D,交線段OC于點E，作EP⊥ED交射線AB于點P，交射線CB于點F.（1）如圖，求證：△ADE∽△AEP；

　�。�2）設OA=,AP=時，求關于的函數(shù)關系式，并寫出它的定義域；

　�。�3）當BF=1時，求線段AP的長。分析：此題起點不高，但要求較全面。是一道數(shù)與形、代數(shù)計算與幾何證明、相似三角形的判定與性質(zhì)、畫圖分析與列方程求解、勾股定理與函數(shù)、圓和三角比相結合的綜合性試題。同時考查了初中數(shù)學中最重要的數(shù)學思想：數(shù)形結合的思想、分類討論的思想和幾何運動變化等數(shù)學思想。本題似曾相識又不相識，融入了動態(tài)幾何的變和不變，要求學生動中求靜，靜中思變，有一定難度，但上手還是容易的。本題有三問，相當于三個臺階，這種恰當?shù)匿亯|給了考生較寬的入口，有利于考生正常水平的發(fā)揮。而通過層層設問，拾級而上，逐步深入，能夠使一部分優(yōu)秀學生數(shù)學水平得到體現(xiàn)，起到了中考―――升學考試選拔的功能。

　　第（1）問是基礎，求兩個三角形相似，只要連結OD，易于找出有兩個角對應相等，即可得出結論。起點低，上手容易，絕大多數(shù)學生都能夠比較輕松的給以解答。

　　第（2）問和第（3）問的解答，由數(shù)形結合求出函數(shù)的關系式后，既要善于觀察和推理判斷，又要準確的計算，更要全面細致的分析。首先要充分運用數(shù)學中分類討論的思想，仔細審題，抓住線段和射線這兩個概念的區(qū)別，考慮到圓心O在AC上運動變化時的兩種情形，使EP⊥ED交線段AB于點P和EF交AB延長線于點P，分別討論解決，即可得出正確答案。

　　簡解：（1）連結OD,只需證出∠ADE=∠AEP，或∠AED=∠APE,而∠A=∠A是公共角，即可證得△ADE∽△AEP。

　�。�2）由（1）問，得出△ADE∽△AEP，它們的對應邊成比例。

　　由已知條件，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，利用勾三股四弦五整數(shù)組解，（詳見6月21日《新聞晚報》我們的文章“從壓軸題看勾三股四的運用”），即得到解答：

　　y關于的x函數(shù)關系式是：y=165x。

　　求函數(shù)的定義域，比較容易出錯，造成漏解和錯解。要充分運用數(shù)學中分類討論的思想，仔細審題，抓住線段和射線這兩個關鍵性的概念，得到函數(shù)的定義域是：0＜x≤258。

　�。�3）由△ADE∽△AEP和△FBP∽△DEP，它們的對應邊成比例，采用過渡比，代入數(shù)值，AP也是兩種情形，可計算出AP=2或6兩解。

　　以上我們對今年上海市的中考數(shù)學壓軸題進行了分析和解答，它給了我們那些啟示？

　　■上海市的二期課改已從中考這個教育教學最有力的“指揮棒”開始行動起來了。每個學生連中考數(shù)學壓軸題都可以下手，起碼得個2至5分，何況其它題呢？因此，我們今后的數(shù)學教育教學要扎扎實實按照實施素質(zhì)教育的要求去做，確實體現(xiàn)二期課改“以學生發(fā)展為本”的教育理念，減輕學生過重的課業(yè)負擔，狠抓基礎教學，重視“雙基”訓練，包括抓好概念的辨析、主要公式的記憶、數(shù)學解題程式的掌握，爭取讓所有學生達到新課程標準的基本要求。

　　■從今年上海市的中考數(shù)學壓軸題中，我們可以看到在考察學生基本運算能力、思維能力的同時，對優(yōu)生還要著重考查學生靈活運用數(shù)學知識分析和解決問題的能力。因此，我們今后的數(shù)學教育教學中，對這部分學生的培養(yǎng)，應設計一些可考查他們靈活運用數(shù)學知識分析和解決問題的習題，但不要人為編造繁難的計算題和證明題。立意要新，要特別注重于創(chuàng)新意識和發(fā)散性思維能力的培養(yǎng)。

　　■今年上海市的中考數(shù)學壓軸題中，與往年相同，也著重考查了學生對數(shù)學思想方法的理解和掌握。因此，給我們的啟示是：在今后的數(shù)學教育教學中，重要的數(shù)學思想方法，如數(shù)形結合的思想、分類討論的思想和幾何運動變化等數(shù)學思想的教學要加強，而不是削弱。

　　■從今年上海市的中考數(shù)學壓軸題學生的解答中，我們可以知道：要使這個題完全正確得滿分，也是不易的。據(jù)了解一所普通中學考生所在的考場，25名考生竟無一人得滿分。所以，我們在平時的數(shù)學教育教學中，既要教書，更要注重育人，使學生養(yǎng)成準確計算，審題嚴密，表達規(guī)范，思維和書寫同步進行等良好的學習習慣，注意發(fā)展他們的優(yōu)良的學習品質(zhì)。

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