八年級數(shù)學(xué)教案-等腰三角形判定的綜合應(yīng)用

　等腰三角形判定的綜合應(yīng)用

　　等腰三角形判定的綜合應(yīng)用

　　目標(biāo)

　　重點

　　難點

　　1、知識與技能目標(biāo):進(jìn)一步熟悉等腰三角形的判定定理及其應(yīng)用。能綜合應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)與判定定理解決問題。歸納出遇有角平分線和平行線這一類題的解題規(guī)律。培養(yǎng)學(xué)生多題歸一,善于思考本質(zhì)的能力。

　　2、過程與方法目標(biāo):通過學(xué)生的分析問題,引導(dǎo)學(xué)生歸納出遇有角平分線和平行線這一類題的思考方向。使學(xué)生在游泳中學(xué)會游泳,在解題中學(xué)會解題。

　　3、情感與態(tài)度目標(biāo):學(xué)生通過積極參與分析,使學(xué)生體驗到學(xué)習(xí)知識的樂趣,思考的魅力。

　　對一類數(shù)學(xué)問題的解題方法歸納,等腰三角形的判定的應(yīng)用。

　　引導(dǎo)學(xué)生形成以后遇到這類問題善于歸納的意識。

　　內(nèi)容

　　方法

　　(人教新課標(biāo)版)§14.3等腰三角形之五(等腰三角形判定的綜合應(yīng)用)

　　講練結(jié)合

　　教學(xué)過程

　　復(fù)習(xí)提問:

　　師:等腰三角形的判定定理有哪些?

　　①有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形。(其定義是重要的判定)

　�、谟袃蓚�角相等的三角形是等腰三角形。

　�、垡贿吷系闹芯�、這邊上的高線與這邊所對的角的角平分線中任意兩條線互相重合的三角形是等腰三角形。(三線合一的逆定理,當(dāng)中包含三個定理)

　�、苋齻�角相等的三角形是等邊三角形。

　　新課過程

　　引例1

　　已知:如圖,AD∥BC,BD平分∠ABC。

　　求證:AB=AD

　　分析:請大家思考。

　　大部分學(xué)生能做出來。

　　(等大部分學(xué)生能思考出來時,抽成績差學(xué)生的說出解題過程,面向全體學(xué)生的體現(xiàn)之一)

　　師:要證明AB=AD,轉(zhuǎn)化先證明∠ABD=∠ADB即可。我們要證明的兩條線段若在兩個三角形中,則思考的一個方向是去證明三角形全等。若這兩條線段是在同一個三角形中,則一個思考方向是證明它是等腰三角形。

　　生:證明:∵BD平分∠ABC

　　∴∠ABD=∠DBC

　　又∵AD∥BC

　　∴∠ADB=∠DBC

　　∴∠ABD=∠ADB

　　∴AB=AD(等角對等邊)

　　引例2

　　已知:如圖,∠CAE是ΔABC的外角,∠EAD=∠DAC,AD∥BC。求證:AB=AC。

　　(留時間給學(xué)生觀察思考)

　　(班上大部分學(xué)生能做出來,處理如上題)

　　生:∵AD平分∠EAC

　　∴∠EAD=∠DAC

　　又∵AD∥BC

　　∴∠EAD=∠B

　　∠DAC=∠C

　　∴∠B=∠C(等角對等邊)

　　分析:問:這兩個題有什么共同之處?

　　生1:都出現(xiàn)了平行線,都出現(xiàn)了角平分線。

　　生2:都得到了一個等腰三角形。

　　生3:都利用了"等邊對等角"。

　　生4:其證明的方法一樣。

　　……

　　師:剛才大家七嘴八舌說了很多,說得很好。

　　(至此課堂很活躍)

　　剛才我聽到有的同學(xué)說很簡單,我也這樣認(rèn)為這兩個引例并不難,但難題來至于簡單的組合,奧秘隱藏于簡單之中,還要仔細(xì)分析,這兩題能夠給我們帶來怎樣的收獲。

　　①小題:出現(xiàn):

　�、谛☆}:出現(xiàn):

　　問:這兩個題有什么不同之處?

　　生:前者的平行線是平行于這個角的一邊,后者的平行線是平行于這個角的角平分線本身。

　　師:這兩個題的結(jié)論有什么相同之處?

　　生:在這兩種情況下,都能得到一個必然的等腰三角形。

　　問:誰來總結(jié)一下這個規(guī)律?

　　生:當(dāng)題目中出現(xiàn)有角平分線和平行線時,題目中要出現(xiàn)一個等腰三角形。以利于做題的推進(jìn)。

　　(師插話:注意了,平行線是平行于這個角的角平分線本身,或者平行于這個角的一邊)。

　　(學(xué)生記住一些小結(jié)論,做題時有利于迅速找到做題的方向,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng))

　　生:這是個雙胞胎圖形。

　　師:說得很好的,在這里,第一個圖形,其背上是一個等腰三角形,第二個圖形,翻個個兒,其背上也是一個等腰三角形,因此我戲稱為"背孩子的圖形"。隨便怎么記都行。

　　(學(xué)生大笑,笑聲中學(xué)生記住了這個圖形、這個結(jié)論,課堂氣氛也比較輕松、活躍)

　　師:今后我們在解題時,就要有意識的向這個方向去想,要充分的利用好我們總結(jié)的規(guī)律,要在游泳中學(xué)會游泳,在戰(zhàn)爭中學(xué)會戰(zhàn)爭,(這是毛主席說的),在解題中學(xué)會解題,我們的思考能力才能越來越強大。能運用規(guī)律來解題,某種情況上說我們已經(jīng)掌握了這個規(guī)律。

　　例1

　　已知:如圖,∠ABC、∠ACB的平分線相交于點F,

　�、龠^F作DE∥BC,交AB于點D,交AC于點E。求證:BD+EC=DE

　�、谶^F作FM∥AB交BC于點M,過F作FN∥AC交BC于點N。

　　求證:ΔFMN的周長=BC。

　　分析:學(xué)生讀題,思考如何去做。

　　兩、三分鐘后,大部分學(xué)生已經(jīng)能做出。

　　問:誰來給大家分析一下?

　　生5:由"背孩子圖形"立即可得ΔBDF和ΔFEC是等腰三角形,由BD=DF,EC=EF。問題得證。

　　師:請每個同學(xué)寫出過程。

　　證明:∵BF平分∠DBF,

　　∴∠DBF=∠FBC

　　∵DE∥BC

　　∴∠DFB=∠FBC

　　∴∠DBF=∠DFB

　　∴DB=DF

　　同理:EF=EC

　　∴DB+EC=DF+FE

　　即:DB+EC=DE

　　問:從剛才同學(xué)們完成①問,能夠感受到規(guī)律的威力,第二問如何做?

　　生6:這個圖形中,也有兩個"背孩子圖形",可得FM=BM,FN=NC,問題得到解決。

　　師:今后,我們在思考問題時,按我們的規(guī)律進(jìn)行思考,將大大推進(jìn)我們對問題的思考。

　　例2

　　已知:CE、CF分別平分∠ACB和它的外角,EF∥BC,EF交AC于點D,E是CE與AB的交點。

　　求證:DE=DF

　　分析:給大家5分鐘的時間,認(rèn)真思考。5分鐘后請同學(xué)回答。(5分鐘,全班已有超過一半的學(xué)生能做)

　　生7:這里面仍然包含有兩個"背孩子圖形"。

　　由出現(xiàn)了角平分線,和平行線,我們很容易得到ΔDEC和ΔDFC是等腰三角形,可得:ED=DC,DF=DC。

　　師:很好,請按規(guī)律思考。

　　(至此班上大部分學(xué)生已經(jīng)掌握這題的思考規(guī)律,同時,理解了我們是如何運用規(guī)律的。這些規(guī)律不需要去背,學(xué)生已經(jīng)留在了腦海中。)

　　解:∵FE∥BC

　　∴∠DEC=∠ECB

　　又∵CE平分∠ACB

　　∴∠ECB=∠ECD

　　∴∠DEC=∠DCE

　　∴DC=DE

　　同理:DC=DF

　　∴DE=DF

　　例3

　　已知:如圖,點D是∠ABC的角平分線與∠ACB的外角平分線的交點,DE∥BC,DE交AB于點E,交AC于點F。

　　求證:EF=BE-CF。

　　師:這題留給大家5分鐘的時間思考。

　　生8:題目中出現(xiàn)有角平分線和平行線,思考找出題中的兩個等腰三角形,能得到ΔEDB和ΔDFC是等腰三角形,有BE=ED,DF=CF,問題得到證明。

　　師:請大家寫出證明過程。

　　證明:∵BD平分∠EBC,

　　∴∠DBE=∠DBC

　　∵DE∥BC

　　∴∠EDB=∠DBC

　　∴∠DBE=∠EDB

　　∴DE=BE

　　同理:CF=DF

　　∴EF=DE-DF=BE-CF

　　例4

　　已知:如圖,B、D分別在AC、CE上,AD是∠CAD的平分線,BD∥AE,AB=BC。求證:AC=AE。

　　分析:問:能自行解決嗎?

　　生9:題中出現(xiàn)有角平分線和平行線,先找出等腰三角形ΔABD,

　　有AB=BD,又∵AB=BC,

　　∴有BC=BD,

　　∴∠C=∠CDB

　　又∵BD∥AE

　　∴∠CDB=∠E

　　∴∠C=∠E

　　∴AC=AE。

　　師:今后我們做題時,要善于多題歸一,我們今天見識了善于發(fā)現(xiàn)不同題目中的規(guī)律,會給我們帶來極大的幫助,增長我們的才能。

　　每課一招:每節(jié)課都把自己作導(dǎo)演,讓學(xué)生做演員,讓他們盡情的展示自己吧!把自己的光輝悄悄的隱沒于學(xué)生的才能之中吧!(這樣他們會越來越聰明,越來越喜歡學(xué)
 

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