來源:網(wǎng)絡(luò)資源 作者:中考網(wǎng)整理 2019-05-01 17:39:53
一、利用三角形的面積橋求銳角三角函數(shù)值
例1 如圖1,E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD的中點,求∠EAF的正切值。
圖1
解:連結(jié)EF,作FG⊥AE,垂足為G
設(shè)正方形的邊長為2,則BE=CE=CF=FD=1
由
在 中,由勾股定理,得
在△AEF中,
易證:△ABE≌△ADF,∴AF=AE=
在Rt△AFG中
評注:本例考查了勾股定理、全等三角形等知識,要求銳角三角函數(shù)值必須在直角三角形進行,通過添加輔助線將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形,為解決問題創(chuàng)造了有利條件,使所求問題化歸為利用三角形面積橋來解決。
例2 如圖2,AB是圓O的直徑,CD⊥AB于P,若BP=2,CD=12,求cos∠CAD的值。
圖2
解:∵AB是圓O的直徑,AB⊥CD
∴點P是弦CD的中點
∴PD=PC=6
由相交弦定理,得
PA·PB=PD·PC=PD 2
在 中,由勾股定理,得
#p#分頁標題#e#
易證:
過點D作DE⊥AC,垂足為E
在 中,
評注:本例考查了圓中的相交弦定理、垂徑定理,還考查了勾股定理、全等三角形等知識,通過添加輔助線,構(gòu)造直角三角形,利用三角形面積橋的特殊條件,提高了解題效率與為解決某些問題搭起了平臺作用。
二、利用三角形的面積橋求點到直線的距離
例3 如圖3,已知圓 與圓 外切于點C,AB是兩圓的外公切線,A、B是切點,點A在圓 上,點B在圓 上。若AC、BC是關(guān)于x的方程 的兩個實數(shù)根,△ABC的周長為30,求點C到直線AB的距離。
圖3
解:過點C作兩圓的公切線交AB于點P,則AP=PC=PB
,即
∴△ABC是直角三角形。
設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)題意及根與系數(shù)的關(guān)系,得
將①代入③,得 ④
根據(jù)勾股定理,得
⑤#p#分頁標題#e#
將①、②、④代入⑤,得
,
經(jīng)整理,得
,解得
又
都能使原方程有實根。
當 時代入④,得
,不合題意,舍去。
當 時,代入④,得
∴當 時,代入②,得
設(shè)點C到直線AB的距離為h
評注:本例由兩圓外切來判斷三角形的形狀,將方程中的根與系數(shù)的關(guān)系和判別式,以及勾股定理,配方法、方程等知識點串聯(lián)在一起,綜合性較強,所考查的知識點頗多,涉及面廣,拓寬了對相關(guān)知識點的考查;同時合理構(gòu)建方程組模型,利用方程的知識和三角形的面積橋是解決問題的關(guān)鍵;利用整體求值法,避免了求邊長,提高了解題速度,有利于培養(yǎng)學生將所學過的掌握的相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為解決實際問題的能力,核心是應用能力,本例形成了較好的考查知識鏈。
三、利用三角形的面積橋求三角形的內(nèi)切圓面積
例4 在△ABC中,AC=4,BC=5,AB=6,求△ABC的內(nèi)切圓面積。
解:如圖4所示,過點A作AD⊥BC,設(shè)BD=x,CD=y,則
圖4
①
在 和#p#分頁標題#e# 中,由勾股定理,得
②
解①,②,得
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r,因為三角形的內(nèi)切圓圓心到三邊的距離相等。
的內(nèi)切圓面積為 面積單位)。
評注:本例充分利用方程知識和三角形的面積橋,使所求問題無從下手,到;柳暗花明;,使所求問題迎刃而解。
四、利用三角形的面積橋解決其他問題
例5 在△ABC中,AB=3,BC= ,AC=4,點P為BC邊上的任一點不與B、C重合),PE⊥AB,PF⊥AC,E、F為垂足,求3PE+4PF的值。
解:如圖5過點B作BD⊥AC,垂足為D
圖5
設(shè)
則 ①
在 和 中,由勾股定理,得
#p#分頁標題#e#
即 ②
解①,②,得
連結(jié)AP,則
即
評注:本例是2019年全國 試題改編,在解題過程中,利用了方程思想,實現(xiàn)了幾何代數(shù)化,由方程知識和三角形的面積橋,使解題思路清晰,解題方法躍然紙上,簡潔明快,所以三角形的面積橋為提高解題質(zhì)量和技巧提供了便捷通道。
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