2019年中考數(shù)學(xué)圓與圓位置關(guān)系中常見(jiàn)輔助線的作法

圓與圓位置關(guān)系是初中幾何的一個(gè)重要內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，本文介紹圓與圓的位置關(guān)系中常見(jiàn)的五種輔助線的作法。

1. 作相交兩圓的公共弦

利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)或公共圓周角，溝通兩圓的角的關(guān)系。

例1. 如圖1，⊙O 1

和⊙O 2

相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B分別作直線CD、EF，且CD//EF，與兩圓相交于C、D、E、F。求證：CE=DF。

圖1

分析：CE和DF分別是⊙O 1

和⊙O 2

的兩條弦，難以直接證明它們相等，但通過(guò)連結(jié)AB，則可得圓內(nèi)接四邊形ABEC和ABFD，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，則易證明。

證明：連結(jié)AB

因?yàn)?/p>

又

所以

即CE//DF

又CD//EF

所以四邊形CEFD為平行四邊形

即CE=DF

2. 作兩相交圓的連心線

利用過(guò)交點(diǎn)的半徑、公共弦、圓心距構(gòu)造直角三角形，解決有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題。

例2. ⊙O 1

和⊙O 2

相交于A、B兩點(diǎn)，兩圓的半徑分別為 和 ，公共弦長(zhǎng)為12。求 的度數(shù)。

圖2

分析：公共弦AB可位于圓心O 1

、O 2

同側(cè)或異側(cè)，要求 的度數(shù)，可利用角的和或差來(lái)求解。

解：當(dāng)AB位于O 1

、O 2

異側(cè)時(shí)，如圖2。

連結(jié)O 1

、O 2

，交AB于C，則 。分別在 和#p#分頁(yè)標(biāo)題#e# 中，利用銳角三角函數(shù)可求得

故

當(dāng)AB位于O 1

、O 2

同側(cè)時(shí)，如圖3

圖3

則

綜上可知 或

3. 兩圓相切，作過(guò)切點(diǎn)的公切線

利用弦切角定理溝通兩圓中角的關(guān)系

例3. 如圖4，⊙O 1

和⊙O 2

外切于點(diǎn)P，A是⊙O 1

上的一點(diǎn)，直線AC切⊙O 2

于C，交⊙O 1

于B，直線AP交⊙O 2

于D。求證PC平分 。

圖4

分析：要證PC平分 ，即證

而 的邊分布在兩個(gè)圓中，難以直接證明。

若過(guò)P作兩圓的公切線PT，與AC交于T

易知

由弦切角定理，得

又 是 的一個(gè)外角

所以

又 #p#分頁(yè)標(biāo)題#e#

從而有

即PC平分

4. 兩圓相切，作連心線

利用連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的性質(zhì)，解決有關(guān)計(jì)算問(wèn)題。

例4. 如圖5，⊙O 1

與半徑為4的⊙O 2

內(nèi)切于點(diǎn)A，⊙O 1

經(jīng)過(guò)圓心O 2

，作⊙O 2

的直徑BC，交⊙O 1

于點(diǎn)D，EF為過(guò)點(diǎn)A的公切線，若 ，求 的度數(shù)。

圖5

分析： 是弦切角，要求其度數(shù)，需將其轉(zhuǎn)化為圓周角或圓心角，因此連結(jié)O 1

O 2

、O 1

A，則O 1

O 2

必過(guò)點(diǎn)A，且O 2

A為⊙O 1

的直徑，易知 。

連結(jié)DA，則

于是

又 為銳角

所以

從而有

5. 過(guò)小圓圓心作大圓半徑的垂線

有關(guān)公切線問(wèn)題常過(guò)小圓的圓心作大圓半徑的垂線，構(gòu)造直角三角形。

例5. 如圖6，⊙O 1

與⊙O 2

外切于點(diǎn)O，兩外公切線PCD和PBA切⊙O 1

、⊙O 2

于點(diǎn)C、D、B、A，且其夾角為 ， ，求兩圓的半徑。#p#分頁(yè)標(biāo)題#e#

圖6

分析：如圖6，連結(jié)O 1

O 2

、O 1

A、O 2

B，過(guò)點(diǎn)O 2

作 ，構(gòu)造 ，下面很容易求出結(jié)果。

請(qǐng)同學(xué)們自己給出解答。

答案：兩圓的半徑分別為3和1)

　　 歡迎使用手機(jī)、平板等移動(dòng)設(shè)備訪問(wèn)中考網(wǎng)，2023中考一路陪伴同行！>>點(diǎn)擊查看