梯形是一種特殊的四邊形，它是平行四邊形和三角形的“綜合”�？梢酝ㄟ^適當(dāng)?shù)靥砑虞o助線，構(gòu)造三角形、平行四邊形，再運(yùn)用三角形、平行四邊形的相關(guān)知識去解決梯形問題。下面就梯形中作輔助線的常用方法作一介紹，供參考。
一、 平移一腰
過梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線，構(gòu)造一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形，能使分散的條件集中起來，為解決梯形問題創(chuàng)造條件。
例1 如圖1，等腰梯形ABCD兩底之差等于一腰的長，那么這個(gè)梯形較小的一個(gè)內(nèi)角是（ ）
A、90° B、60° C、45° D、30°
解析：由條件“兩底之差等于一腰的長”，可平移一腰。如圖2所示，平移DC到AE，AE交BC于E�？芍狟E=BC-AD=AB。又AB=DC=AE，故AB=BE=AE，△ABE是等邊三角形。所以∠B=60°。故選B。
二、平移兩腰
平移兩腰，使兩腰交于短底上一點(diǎn)，把梯形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形，進(jìn)而解決問題。
例2 如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC。E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，且EF⊥BC。求證：∠B=∠C。
解析：要證∠B=∠C，可把它們移到同一個(gè)三角形中，利用等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)加以證明。
過點(diǎn)E作EH∥AB，EG∥DC，分別交BC于H、G（如圖4）。
∵AD∥BC，∴四邊形ABHE和四邊形EGCD都是平行四邊形（兩組對邊平行）。
∴AE=BH，ED=GC。
又E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，所以AE=ED，BF=FC。
∴BH=GC，BF-BH=FC-GC，從而HF=FG。
又EF⊥BC，所以EH=EG，故∠EHF=∠EGF，得∠B=∠C。
評析：題目中若有連接兩底上點(diǎn)的線段，通常要平移兩腰。
三、平移對角線
過梯形底邊的一個(gè)端點(diǎn)作某一條對角線的平行線，可以構(gòu)造出一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形，引出解題思路。
例3 在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BC，且AC=5cm，BD=12cm，則梯形中位線的長等于（ ）
A、7.5cm B、7cm C、6.5cm D、6cm
解析：由對角線垂直，可平移一條對角線（比如AC），構(gòu)造出Rt△BDE和
ACED（如圖5）。由勾股定理可知BE=13cm，從而得到梯形中位線的長
等于BE的一半，即為6.5cm。故選C。
四、延長兩腰
延長兩腰相交于一點(diǎn)，可構(gòu)造兩個(gè)三角形，再利用這兩個(gè)三角形的性質(zhì)解決問題。
例4 在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD+BC=30，BD平分∠
ABC。求梯形的周長。
解析：延長兩腰相交于點(diǎn)E，如圖6，因∠ABC=∠BCD=60°，故∠E=60°�！鰾CE為等邊三角形。又BD平分∠ABC，所以BD垂直平分CE。
所以CD=。
又AD∥BC，故△ADE為等邊三角形。AD=ED=CD。由AD+BC=30，知CD+2CD=30，CD=10。
∴梯形的周長為30+AB+CD=30+2CD=50。
五、作梯形的高
過梯形短底的兩個(gè)端點(diǎn)作梯形的高，把梯形分成兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形，可使解題思路明朗化。
例5 已知等腰梯形的一個(gè)內(nèi)角為60°，它的上底是3cm，腰長是4cm，則下底是 。
解析：如圖7，梯形ABCD中，∠B=∠C=60°，AD=3cm，AB=DC=4cm，過點(diǎn)A、D分別作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E、F。則有∠BAE=∠CDF=30°，BE=FC=
AB=2cm，
∴BC=BE+EF+FC=BE+AD+FC=7（cm），即為所求。
六、連接兩腰中點(diǎn)
若題目中有一個(gè)或兩個(gè)腰的中點(diǎn)，可嘗試連接梯形兩腰的中點(diǎn)，得到梯形的中位線，利用中位線的性質(zhì)解題。
例6 在梯形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC。求證AM平分∠DAB。
解析：如圖8，取DA的中點(diǎn)N，連接MN，則MN∥CD，MN∥AB。所以∠NMD=∠MDC=∠MDN。故NM=ND=AN，∠NAM=∠NMA=∠MAB。故AM平分∠DAB。
練習(xí)
1、等腰梯形兩底差的一半等于它的高，那么這個(gè)梯形的一個(gè)內(nèi)角是（ ）。
A、75° B、60° C、45° D、30°
2、如圖9，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)。求證：MN=
（AB-CD）。
2020年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法:談梯形輔助線的作法
3、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，求此梯形的高。
4、如圖10，在梯形ABCD中，∠DCB=90°，AB∥DC，AB=25，BC=24。將該梯形折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合，BE為折痕。那么，AD的長為 。
2020年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法:談梯形輔助線的作法
5、例6變式練習(xí)：條件不變，結(jié)論改變。求證：（1）AM⊥DM；（2）AB+CD=AD。
提示：1、利用第五種作法。2、利用第二種作法，并利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。3、利用第三種作法，由勾股定理逆定理得出直角三角形，并利用面積公式
（a、b為直角邊長，c為斜邊長，h是斜邊上的高）。4、先在Rt△BCD中求出DC，再自D作DF⊥AB于F。在Rt△ADF中求AD。
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