2021年中考數(shù)學(xué)三角形：相似三角形

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　　相似三角形：

　　簡介：

　　三角分別相等，三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形（similar triangles）

　　相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣。全等三角形可以被理解為相似比為1的相似三角形。相似三角形其實是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是幾何中兩個三角形中，邊、角的關(guān)系。

　　性質(zhì)：

　　1.相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例

　　2.相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比

　　3.相似三角形周長的比等于相似比

　　4.相似三角形面積的比等于相似比的平方

　　由4可得：相似比等于面積比的算術(shù)平方根

　　5.相似三角形內(nèi)切圓、外接圓直徑比和周長比都和相似比相同，內(nèi)切圓、外接圓面積比是相似比的平方

　　6.若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中項

　　7.a/b=c/d等同于ad=bc

　　8.不必是在同一平面內(nèi)的三角形里

　　判定：

　　類比全等三角形的判定定理，可以得出下列結(jié)論：

　　定理1：兩角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似。

　　定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似。

　　定理3：三邊成比例的兩個三角形相似。

　　定理4：一條直角邊與斜邊成比例的兩個直角三角形相似。

　　根據(jù)以上判定定理，可以推出下列結(jié)論：

　　推論1：三邊對應(yīng)平行的兩個三角形相似。

　　推論2：一個三角形的兩邊和三角形任意一邊上的中線與另一個三角形的對應(yīng)部分成比例，那么這兩個三角形相似。

　　推論：

　　推論一：腰和底對應(yīng)成比例的兩個等腰三角形相似。

　　推論二：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。

　　推論三：如果一個三角形的兩邊和三角形任意一邊上的中線與另一個三角形的對應(yīng)部分成比例，那么這兩個三角形相似。

　　攝影定理：

　　攝影定理（又叫歐幾里德(Euclid)定理）俗稱母子三角形：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。

　　例如：(前提：∠BAD+∠DAC=90度，AD⊥BC)

　　公式Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：

　　(1)(AD)^2=BD·DC，

　　(2)(AB)^2=BD·BC，

　　(3)(AC)^2=CD·BC。

　　等積式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面積來證明)

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