來(lái)源:網(wǎng)絡(luò)資源 2022-11-08 20:43:12
定理:直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中,垂線段最短
證明如下:
作點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)P',連接CP',DP'。
易知CP=CP',DP=DP'
根據(jù)連點(diǎn)之間線段最短可得,
PP'≤CP+CP',即2PD≤2PC。
所以PD≤PC。
定理的應(yīng)用
一、求線段最值問(wèn)題中的應(yīng)用
1、如圖,△ABC是等邊三角形,邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E是對(duì)稱軸AD上一點(diǎn),將點(diǎn)E繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)F.求線段DF的最小值。
解:
作AC的中點(diǎn)G,連接EG。
易證△CDF≌△CGE.所以DF=GE。
要使DF有最小值,只需GE取最小值。
根據(jù)垂線段最短可得,當(dāng)GE⊥AD時(shí),GE最小。
此時(shí)GE=1/2AG=1/4AC=3/2。
所以DF的最小值為3/2。
反思:本題實(shí)質(zhì)上就是結(jié)合題中給出的等邊三角形,構(gòu)造了一對(duì)手拉手等邊三角形。當(dāng)然也可以從捆綁旋轉(zhuǎn)的角度出發(fā),先找到點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡,再構(gòu)造全等三角形或直接建立坐標(biāo)系求出軌跡的方程,運(yùn)用垂線段最短加以解決。
2、如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3.點(diǎn)P是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)E、F分別是線段AC、AB上的動(dòng)點(diǎn).連接EP、EF,求EP+EF的最小值。
解:
將△ABC沿AC折疊,點(diǎn)B落在點(diǎn)N處,AN交CD于點(diǎn)G,
點(diǎn)P落在CN上的點(diǎn)Q處。
連接EQ,則EP=EQ。
連接FQ,過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AB于點(diǎn)M。
則EP+EF=EQ+EF≥QF≥QM。
易證△ADG≌△CNG。
設(shè)DG=x,則AG=4-x。
在Rt△ADG中,根據(jù)勾股定理可得,
AG²=DG²+AD²,即(4-x)²=x²+3²
解得,x=7/8
即DG=7/8,AG=4-7/8=25/8。
所以sin∠GCN=sin∠DAG=7/25。
QM=CQ*sin∠GCN+CB=3/2*7/25+3=171/50。
所以EP+EF的最小值為171/50。
3、如圖,已知在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E為AB上一動(dòng)點(diǎn). 點(diǎn)P沿DE--EA折線運(yùn)動(dòng),在DE、EA上速度分別是每秒1和5/3個(gè)單位.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,試求t的最小值。
分析:
由題可知t=DE+EA/(5/3)=DE+3/5EA。這是一個(gè)典型的胡不歸問(wèn)題。以A為頂點(diǎn)在AE的上方構(gòu)造∠EAF,使得sin∠EAF=3/5。利用垂線段最短即可解決。
解:
過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線AG,則sin∠EAG=sin∠B=3/5。
分別過(guò)點(diǎn)E、D作EM⊥AG,DN⊥AG垂足分別是點(diǎn)M、N。
易知t=DE+3/5EA=DE+EM>=DM>=DN=DP+3/5PA
當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)P重合時(shí)取等號(hào).此時(shí)DN=6
所以t的最小值為6。
二、求線段取值范圍中的應(yīng)用
如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,點(diǎn)D是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AD,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AD交AB于點(diǎn)E.求線段AE的最小值。
分析:
作AE的中點(diǎn)F,連接FD.過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G.
設(shè)AE=x,用含x的代數(shù)式表示出GF和DF,
由垂線段最短可得,GF≤DF.解不等式即可得出結(jié)果。
解:
如圖,作AE的中點(diǎn)F,連接FD.過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G。
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