我們先來(lái)看例題，最后會(huì)給大家總結(jié)反比例函數(shù)如何破題。
題目我們先易后難!
例題1：代表一類(lèi)反比例函數(shù)定性分析題
這類(lèi)題目屬于定性分析題，不要你實(shí)實(shí)在在算出具體數(shù)字的題目。但是要做對(duì)，也是需要你對(duì)反比例函數(shù)定義以及拋物線定義有所了解。這題不是單純只考反比例函數(shù)內(nèi)容還結(jié)合了拋物線知識(shí)。屬于雙線結(jié)合題。出題遵循先易后難，放在例題1，說(shuō)明難度不大。拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，說(shuō)明▲=b²-4ac>0可以得到。計(jì)算出K<0反比例過(guò)二、四象限。直接排除A、C兩個(gè)選項(xiàng)。接下來(lái)y=kx-k說(shuō)明這個(gè)函數(shù)必過(guò)(1、0)點(diǎn)所以直接選D選項(xiàng)。如何理解必過(guò)(1.0)點(diǎn)，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)經(jīng)�？�。y=kx-k=k(x-1) 當(dāng)x取1時(shí)，無(wú)論K為何值。y必然為0 所以必過(guò)(1.0)點(diǎn)。
例題2：代表一類(lèi)可求X與y分別是多少的反比例函數(shù)題
例題2難度不是很大。四邊形OADB面積為6，四邊形OADB是個(gè)不規(guī)則圖形。那么不規(guī)則圖形的面積計(jì)算方法必然是用割補(bǔ)法。很明顯這個(gè)S圖形OADB=S▲AOB+S▲ABD 因?yàn)镾▲AOB=1則S▲ABD=5 2分之1的AB乘以AD等于5。接下來(lái)AB的長(zhǎng)我們知道為 根號(hào)5 所以AD長(zhǎng)為 2又根號(hào)5 當(dāng)我們得到AD長(zhǎng)以后。有什么作用呢?接下來(lái)就要說(shuō)解反比例函數(shù)的思路了。反比例函數(shù)題大概率是求K值，求K值我們必然要聯(lián)系到K=xy 這個(gè)代數(shù)式，那么要求K值必然要求xy相乘為多少。那么是不是分兩種情況!!!
一種情況：我們可以單獨(dú)求出X和Y各是多少。然后最后相乘求K
另外一種情況:題目無(wú)法求出X和Y各是多少，只能求出XY相乘的積是一個(gè)定值。那么積也是K
當(dāng)你分清楚這兩個(gè)問(wèn)題后，再思考!要求X和Y其實(shí)質(zhì)就是求線段的長(zhǎng)度，那么是不是要做反比例函數(shù)上的點(diǎn)垂直X 軸和垂直Y軸的輔助線?所以出現(xiàn)反比例函數(shù)題目，不管你會(huì)不會(huì)做，先找反比例函數(shù)上的點(diǎn)做垂直X 軸和垂直Y軸的輔助線!!!
做完輔助線后必然的步驟就是求線段的長(zhǎng)度了!!!那么求線段的長(zhǎng)度也是我們經(jīng)常遇到的數(shù)學(xué)題。求線段長(zhǎng)度的方法有哪些呢?再我還沒(méi)寫(xiě)出來(lái)的時(shí)候自己腦袋再思考思考。
想到了嗎?
求線段長(zhǎng)度經(jīng)常用的方法有以下幾種：
1、三角函數(shù)法：
有涉及三角函數(shù)的必須是要在直角三角形里面去做。普通三角形給你其中一個(gè)內(nèi)角是特殊角是沒(méi)有任何意義的。因此要使用三角函數(shù)法求線段長(zhǎng)度，也是需要在直角三角形里面找線段直接比例的。如果沒(méi)有直角三角形，但是出現(xiàn)了上圖的特殊角看看能不能構(gòu)造直接三角形。
2、勾股定理：
這個(gè)方法始終貫穿我們初中階段。
3、全等三角形的判定方法。(SSS/SAS/ASA/AAS/HL)五種判定全等三角形的方法記住了沒(méi)有?
4、用證明相似三角形的方法求知線段的長(zhǎng)度。
只要是用相似三角形的方法求線段長(zhǎng)度，那么經(jīng)常遇到如下模型：
大直角三角形套小直角三角形模型簡(jiǎn)稱(chēng)大套小
K模型
就是三個(gè)直角三角形兩兩相似的模型。
延伸了那么多題外知識(shí)點(diǎn)，我們回到剛才的題目。當(dāng)你算出AD長(zhǎng)為 2又根號(hào)5之后，所以你要想到做D點(diǎn)垂直X軸。然后得到了上面的K模型。
再用勾股定理求X=2因此 xy=16 記住經(jīng)過(guò)二四象限K值為負(fù)數(shù)。最終答案為-16選C
例題3：代表一類(lèi)含有2個(gè)反比例函數(shù)同時(shí)出現(xiàn)的題目
含有2個(gè)反比例函數(shù)的題目相對(duì)而言，會(huì)簡(jiǎn)單一定。這類(lèi)題目考察的實(shí)質(zhì)是。要會(huì)設(shè)點(diǎn)。
這個(gè)題目相對(duì)來(lái)說(shuō)簡(jiǎn)單一點(diǎn)。
例題4：代表一類(lèi)無(wú)法求X和Y各是多少的�？梢郧髕y相乘是定值的題目
梯形OACB面積為4，梯形是規(guī)則圖形，要把他們的面積表達(dá)式寫(xiě)出來(lái)的第一步。
第二步，不管會(huì)不會(huì)做，先做反比例函數(shù)上的點(diǎn)到X軸和Y軸的輔助線。
一步一步推理，答案就出來(lái)了。
例題5：代表一類(lèi)反比例函數(shù)取值范圍的題目
這類(lèi)題目相對(duì)來(lái)說(shuō)，你只要學(xué)一次，以后遇到都會(huì)做的類(lèi)型。不比上面要思考好幾個(gè)步驟，又要結(jié)合到全等，相似的題目，那么復(fù)雜。深刻理解有交點(diǎn)是什么意思。有沒(méi)有交點(diǎn)幾何意義其實(shí)就是平移反比例函數(shù)取只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)候就是臨界點(diǎn)。那么很明顯，A點(diǎn)就是最左邊的臨界點(diǎn)。因此K值必然最小值是2。那么最大值呢?其實(shí)就是反比例函數(shù)和線段BC只有一個(gè)交點(diǎn)的時(shí)候。
答案選A 這題你要學(xué)會(huì)把如何快速求K 的方法背下來(lái)。遇到這種知道平面直角坐標(biāo)系上任意兩點(diǎn)的可以迅速求出K值。
例題6：代表滿(mǎn)足某種條件的定值面積的題型
這類(lèi)題目看起來(lái)是很可怕的，但是實(shí)質(zhì)這類(lèi)題目當(dāng)你學(xué)完我說(shuō)的方法后，你會(huì)覺(jué)得太好用了。這類(lèi)題目以后遇到再也不怕了!是不是覺(jué)得我說(shuō)得神乎奇神?有點(diǎn)黃婆賣(mài)瓜，自賣(mài)自夸。步入正題。這類(lèi)題目特征是什么?就是曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)�？雌饋�(lái)好可怕!反比例靜止的定要求，我都怕。還來(lái)動(dòng)點(diǎn)!不好意思，再下告辭。不!老鄉(xiāng)別走。我take you fly
題目說(shuō)P點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，實(shí)質(zhì)就是無(wú)論P(yáng)點(diǎn)如何運(yùn)動(dòng)，題目中要我們求的S▲POA必然是定值。那么圖中有一個(gè)特殊點(diǎn)，就是P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C2曲線和y 軸交點(diǎn)的位置時(shí)。是不是就可以運(yùn)用到我們所學(xué)的萬(wàn)年勾股定理去求解了?有學(xué)生問(wèn)，老師為什么要這樣做?不好意思，如果不這樣做。隨便取任意一點(diǎn)求面積的話。華佗在世也解不了!(因?yàn)槿A佗是學(xué)醫(yī)的，所以解不了)那么華羅庚會(huì)不會(huì)，我就不懂了。
答案是：B
現(xiàn)在還覺(jué)得這類(lèi)反比例函數(shù)動(dòng)點(diǎn)可怕嗎?記住方法找特殊點(diǎn)。千萬(wàn)別被出題老師思維帶跑偏了。出題老師說(shuō)動(dòng)點(diǎn)，你真的去隨便找一個(gè)點(diǎn)然后做輔助線。然后就沒(méi)有然后了，根本沒(méi)辦法算。
例題7：代表反比例函數(shù)題中難度指數(shù)4顆星★★★★結(jié)合了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)
首先我要告訴你的是，當(dāng)題目中有看到中點(diǎn)字眼的題目，一定要想到三個(gè)常用關(guān)系式。
一是直角三角形，斜邊上的中點(diǎn)。那么中線會(huì)等于斜邊的一半。
二是想到如果題目中有A(x1.y1)和B(x2.y2)這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么AB線段的中點(diǎn)C橫坐標(biāo)為2分之x1+x2 ，C的縱坐標(biāo)為2分之y1+y2
三是要想到三角形的中位線。
那么這個(gè)題目運(yùn)用到的是哪個(gè)呢?很明顯是第三個(gè)了。如何理解OQ最大值為2分之3是這個(gè)題目的解題關(guān)鍵。反比例函數(shù)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，所以只要是y=kx的函數(shù)必然會(huì)被反比例函數(shù)分成三段。其中AO=BO 是一定的。這個(gè)必須當(dāng)做知識(shí)點(diǎn)背下來(lái)。Q又是AP的中點(diǎn) 。因此能得到OQ就是三角形APB的中位線。那么OQ取最大值，必然就是BP取最大值。然后根據(jù)題目意思可得。P點(diǎn)是圓上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)，B是固定的點(diǎn)。要使得BP 最大，BP一定要過(guò)圓心C點(diǎn)。那么圖就可如下圖所畫(huà)。
然后又回到剛才所說(shuō)的，要求K，不管會(huì)做不會(huì)做，先找反比例函數(shù)上的點(diǎn)做垂直X軸和Y軸。那么這個(gè)題目中有兩個(gè)點(diǎn)在反比例函數(shù)上。是A還是B?閉上眼睛也要選B?why
A點(diǎn)和B點(diǎn)誰(shuí)的已知量更多?必然是B啦!(這就是解題思路)
又變成求線段長(zhǎng)度的問(wèn)題了。上面已經(jīng)說(shuō)了，求線段長(zhǎng)度就那么4種常用的。這個(gè)題目用什么?勾股定理!why ?
因?yàn)檎麄�(gè)題目做下來(lái)你是不是發(fā)現(xiàn)題目中還有一個(gè)已知條件沒(méi)有用?一次函數(shù)y=2x
說(shuō)到這里補(bǔ)充一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，當(dāng)你看y=x或者y=2x或者y=3x這樣的一次函數(shù)。其實(shí)實(shí)質(zhì)告訴你幾何意義是這個(gè)函數(shù)和X軸構(gòu)成的直角三角形的y/x比值是多少。然后可得到BD比OD在這個(gè)題目中等于2。接下來(lái)。設(shè)OD=X則BD=2X 則CD=2-X 又因?yàn)锽P最大為3 所以BC為2 得到萬(wàn)年勾股大法：CD²+BD²=BC² 可解X=4/5 y=2x=8/5 K值=32/25 選C
例題8：這個(gè)題目代表一類(lèi)知邊長(zhǎng)求面積比后解K值
我們看但C始終在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，是不是又是有點(diǎn)類(lèi)似上面例題6，滿(mǎn)足某種條件下。K值始終是一個(gè)定值。類(lèi)似滿(mǎn)足某種條件下，面積是個(gè)定值。有點(diǎn)神似!第一步。要干嘛?會(huì)做不會(huì)做，先把C垂直與x 軸和Y軸輔助線做了!!!!已經(jīng)強(qiáng)調(diào)好幾遍了，記到腦海里。
反比例函數(shù)和經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的kx=y又出現(xiàn)了。說(shuō)明要想到AO=OB。題目中又有交代▲ABC為等腰三角形。又告訴你∠ACB=120°那么肯定要把OC連起來(lái)。自然而然的事情。因?yàn)?20不屬于上面所說(shuō)的特殊角。60度才是特殊角度。
那么輔助線就是如圖所示。如果你沒(méi)有做出這個(gè)輔助線，一定要好好思考為什么自己的反比例函數(shù)解題思路沒(méi)有形成。同時(shí)也希望看完我的思路能變成自己的。這次是你看這篇文章的用處。同時(shí)更希望學(xué)有所成，能將方法用到你接下來(lái)的中考里面。
做完輔助線我們發(fā)現(xiàn)，題目又回到上面我所說(shuō)的K模型來(lái)了。出現(xiàn)了RT▲ADO RT▲AOC RT▲OEC 但是我們發(fā)現(xiàn)。整個(gè)題目是不是沒(méi)有告訴你任何一邊的長(zhǎng)度?沒(méi)有告訴我們?nèi)魏我贿叺拈L(zhǎng)度，那么我們要求K值，必然無(wú)法單個(gè)求X和單個(gè)Y值是多少。所以必然用第二種求K值的方法，就是求出xy相乘的值多少也可以做。
有三個(gè)RT▲相似，先把比例寫(xiě)出來(lái)。
相似三角形面積比等于邊長(zhǎng)比的平方
這當(dāng)做定理背下來(lái)，對(duì)你解題非常有幫助。再補(bǔ)充個(gè)題外的。相似體的體積比等于邊長(zhǎng)比的3次方。
是不是有點(diǎn)不可思議的解題方法!嘆為觀止的感覺(jué)!
反比例函數(shù)題目很多，但是題型解題方法其實(shí)基本上就是上面幾個(gè)類(lèi)。當(dāng)然反比例函數(shù)的難題也不僅僅是這幾種。還有很多難度指數(shù)為5顆星★★★★★的題目，簡(jiǎn)單放個(gè)下面5顆星的題目給大家。大家有空可以嘗試做一做。
這題答案為2
學(xué)完上面的方法，反比例函數(shù)題目。相信你們也不會(huì)看到就怕了。起碼覺(jué)得有思路去破題。要學(xué)會(huì)總結(jié)平常自己遇到的題目。題目是海量的，題型其實(shí)是有限�？紒�(lái)考去，他們?nèi)f變不離其宗。還有一個(gè)需要跟大家分享的：反比例函數(shù)如果出現(xiàn)整個(gè)題目只出現(xiàn)一個(gè)數(shù)字的!!!這類(lèi)題實(shí)在不會(huì)做。你猜答案只能猜3個(gè)數(shù)字。
一是 : 數(shù)字本身。
二是：數(shù)字的2分之一。
三是：數(shù)字的2倍。
反比例函數(shù)大概率會(huì)附帶圖。具體數(shù)字是哪個(gè)?那么你要看圖中給的數(shù)字線段的長(zhǎng)度和要求的是什么結(jié)合起來(lái)。希望這個(gè)方法能在你實(shí)在想不出的時(shí)候幫你拿到分?jǐn)?shù)。好比例題4.不會(huì)做!!!你猜也只能是4或者2梯形OACB面積為4。那么大的面積才為4 那么2的概率就更大了。這是解題技巧的問(wèn)題。為什么會(huì)這樣!!這是老師多年教學(xué)總結(jié)出來(lái)的經(jīng)驗(yàn)之談。
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