初三數(shù)學(xué)——幾何變換
平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是幾何變換中的三種基本變換。所謂幾何變換就是根據(jù)確定的法則，對(duì)給定的圖形(或其一部分)施行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系。
旋轉(zhuǎn)
一、旋轉(zhuǎn)的定義
二、常見(jiàn)的幾種模型
三、旋轉(zhuǎn)類型題目
1、正三角形類型
在正ΔABC中，P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，將ΔABP繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合。經(jīng)過(guò)這樣旋轉(zhuǎn)變化，將圖(1-1-a)中的PA、PB、PC三條線段集中于圖(1-1-b)中的一個(gè)ΔP'CP中，此時(shí)ΔP'AP也為正三角形。
2、正方形類型
在正方形ABCD中，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將ΔABP繞B點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，使得BA與BC重合。經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變化，將圖(2-1-a)中的PA、PB、PC三條線段集中于圖(2-1-b)中的ΔCPP'中，此時(shí)ΔBPP'為等腰直角三角形。
3、等腰直角三角形類型
在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°, P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，將ΔAPC繞C點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，使得AC與BC重合。經(jīng)過(guò)這樣旋轉(zhuǎn)變化，在圖(3-1-b)中的一個(gè)ΔP'CP為等腰直角三角形。
平移
1、平移的定義
把一個(gè)圖形沿著一定的方向平行移動(dòng)而達(dá)到另一個(gè)位置，這種圖形的平行移動(dòng)簡(jiǎn)稱為平移。
2、平移的兩個(gè)要素：
(1)平移方向;(2)平移距離。
3、對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角
一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移后得到一個(gè)新的圖形，這個(gè)新圖形與原圖形是能夠互相重合的全等形，我們把互相重合的點(diǎn)稱為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，互相重合的線段稱為對(duì)應(yīng)線段，互相重合的角稱為對(duì)應(yīng)角。
4、平移方向和距離的確定
(1)要對(duì)一個(gè)圖形進(jìn)行平移，在平移前必須弄清它的平移方向和平移距離，否則將無(wú)法實(shí)現(xiàn)平移，那么怎樣確定這兩點(diǎn)呢?
A. 若給出帶箭頭的線段：從箭尾到箭頭的方向表示平移方向，而帶箭頭的線段的長(zhǎng)度，表示平移距離，也有時(shí)另給平移距離的長(zhǎng)度。
B. 若給出由小正方形組成的方格紙：在方格中的平移，從方向上看往往是要求用橫縱兩次平移來(lái)完成(有特殊要求例外)，而移動(dòng)距離是由最終要達(dá)到的位置確定的。
C. 具體給出從某點(diǎn)P到另一點(diǎn)P'的方向?yàn)槠揭品较颍�段PP'的長(zhǎng)度為平移距離。
D. 給出具體方位(如向東或者西北等)和移動(dòng)長(zhǎng)度(如10CM)。
(2)圖形平移后，平移方向與平移距離的確定。
圖形平移后，原圖形與新圖形中的任意一對(duì)前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的射線方向就是原平移方向，這對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的線段長(zhǎng)度就是原平移距離。
5、平移性質(zhì)
圖形平移的實(shí)質(zhì)是圖形上的每一點(diǎn)都沿著同一個(gè)方向移動(dòng)了相同的距離。
平移后的圖形與原圖形：
① 對(duì)應(yīng)線段平行(或在同條一直線上)且相等;
② 對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行(或在同一條直線上)且相等;
③ 圖形的形狀與大小都不變(全等);
④ 圖形的頂點(diǎn)字母的排列順序的方向不變。
6、判別平移圖形：
除根據(jù)定義判別外，還可以根據(jù)平移特征，從中去掉那些能互相替代和包含的內(nèi)容，只要具備以下三條：
(1)這兩個(gè)圖形必須是全等形;
(2)這兩個(gè)全等形的對(duì)應(yīng)線段必須互相平行(或者在同一條直線上);
(3)這兩個(gè)全等形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線必須互相平行(或在同一條直線上)。
以上為判別方法一，由判別方法一還可以演變推出如下判別方法二:
(1)這兩個(gè)圖形必須是全等形;
(2)這兩個(gè)全等形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)字母的排列順序在圖中的方向必須相同(同位順時(shí)針或同為逆時(shí)針);
(3)這兩個(gè)全等形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線必須互相平行(或在同一條直線上)。
翻折
一、翻折的定義
翻折和折疊問(wèn)題其實(shí)質(zhì)就是對(duì)稱問(wèn)題，翻折圖形的性質(zhì)就是翻折前后圖形是全等的，對(duì)應(yīng)的邊和角都是相等的。以這個(gè)性質(zhì)為基礎(chǔ)，結(jié)合圓的性質(zhì)，三角形相似，勾股定理設(shè)方程思想來(lái)考查。
二、翻折的性質(zhì)
①翻折后兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。
②對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分。
三、翻折的題型
翻折折疊題型 (一) ，直接計(jì)算型，運(yùn)用翻折的性質(zhì)，結(jié)合題中的條件，或利用三角形相似，或利用勾股定理設(shè)方程來(lái)解題!一般難度小，我們要多做一些這些題型，熟練翻折的性質(zhì)，以及常見(jiàn)的解題套路!
翻折折疊題型(二)，分類討論型，運(yùn)用翻折的性質(zhì)，結(jié)合題中的條件，或利用三角形相似，或利用勾股定理設(shè)方程來(lái)解題!一般難度較大，需要綜合運(yùn)用題中的條件，多種情況討論分析，需要準(zhǔn)確的畫(huà)圖，才能準(zhǔn)確分析!
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