2023年初中數(shù)學(xué)：如何在平面直角坐標(biāo)系中求對稱點(diǎn)的坐標(biāo)

下面，將分類進(jìn)行探討：

一、求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)；

二、求點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸（或平行于坐標(biāo)軸）的對稱點(diǎn)坐標(biāo)；

三、求點(diǎn)關(guān)于一次函數(shù)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)。

一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱

實(shí)質(zhì)：該點(diǎn)是兩對稱點(diǎn)連線段的中點(diǎn)。

中點(diǎn)坐標(biāo)公式

方法：利用。

說明：

(1)點(diǎn)P(a,b)關(guān)于點(diǎn)A(x,y)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為P’(2x-a,2y-b);

x、y均互為相反數(shù)。

(2)點(diǎn)P(a,b) 關(guān)于原點(diǎn)O(0,0)的對稱點(diǎn)P’(-a,-b)，特點(diǎn)為：

二、點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸（平行于坐標(biāo)軸）對稱

實(shí)質(zhì)：軸(直線)是對稱點(diǎn)連線段的中垂線

(一)關(guān)于x軸對稱

1.關(guān)于x軸對稱

x不變，y互為相反數(shù)

一個(gè)點(diǎn)A(a,b)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A’(a,-b)，特點(diǎn)為：。

2.關(guān)于平行于x軸的直線對稱

x不變，y相加等于2m

一個(gè)點(diǎn)A(a,b)關(guān)于直線y=m對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A’(a,2m-b)，特點(diǎn)為：。

例：A(-3,5)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A’(____,____).

解：點(diǎn)A、A’關(guān)于x軸對稱

∴橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)

∴A’(-3，-5)

例：A(-3,5)關(guān)于直線y=1對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A’(____,____).

解：點(diǎn)A、A’關(guān)于直線y=1對稱

∴橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)相加等于2

∴A’(-3，-3)

(二)關(guān)于y軸對稱

1.關(guān)于y軸對稱

y不變，x互為相反數(shù)

一個(gè)點(diǎn)A(a,b)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A’(-a,b)，特點(diǎn)為：。

2.關(guān)于平行于y軸的直線對稱

y不變，x相加等于2m

一個(gè)點(diǎn)A(a,b)關(guān)于直線x=m對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A’(2m-a,b)，特點(diǎn)為：。

例：A(-3,5)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A’(____,____).

解：點(diǎn)A、A’關(guān)于y軸對稱

∴縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)

∴A’(3，5)

例：A(-3,5)關(guān)于x=1對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A’(____,____).

解：點(diǎn)A、A’關(guān)于直線x=1對稱

∴縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)相加等于2

∴A’(5，-3)

三、關(guān)于一次函數(shù)y=kx+b對稱

已知點(diǎn)A坐標(biāo)與直線解析式，求點(diǎn)A關(guān)于直線對稱的點(diǎn)A’的坐標(biāo)。

1.解析式法

(1)兩直線垂直，k1·k2=-1

(2)AA'的解析式

(3)點(diǎn)B的坐標(biāo)

(4)利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式

2.幾何法（化斜為直）

(1)求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，可得AH的長度

(3) 求AB的長度(三角函數(shù))

(4) AA'=2AB

(5) 求AF、A'F的長度(三角函數(shù))

(6)可得點(diǎn)A’的坐標(biāo)

3 .幾何法（構(gòu)造“K字形”相似）

(1)過點(diǎn)A作x軸、y軸的平行線，分別交直線點(diǎn)B、C，連接A’B、A’C(△ABC≌△A’BC)

(2)過點(diǎn)A’作x軸的平行線，過點(diǎn)B、C作這條線的垂線交于點(diǎn)D、E(構(gòu)造“K字形”相似)

(3)可求AC、AB的長

(4)

(5)可得點(diǎn)A’的坐標(biāo)

【例】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(-2,3)關(guān)于一次函數(shù)y=2x+4的對稱點(diǎn)為A’，求點(diǎn)A’的坐標(biāo)。

解法一：解析式法

解法二：幾何法（化斜為直）

解法二：幾何法（構(gòu)造“K字形”相似）

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