2024年初中數(shù)學(xué)二元一次方程及典例詳解

一、實際問題與二元一次方程組的思路

1.基本思路

列方程組解應(yīng)用題，是把“未知”轉(zhuǎn)換成“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的等量關(guān)系。一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量。②同類量的單位要統(tǒng)一。③方程兩邊的數(shù)要相等。

2.解應(yīng)用題一般步驟

①設(shè)：用兩個字母表示問題中的兩個未知數(shù)。②列：列出方程組，要分析題意找出兩個等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組。③解：解方程組，求出未知數(shù)的值。④答：寫出答案。

3.要點詮釋

①“設(shè)”“答”兩步，都要寫清單位名稱;②一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組。

二、八大典型例題詳解

1.和差倍數(shù)問題

和差問題是已知兩個數(shù)的和或這兩個數(shù)的差，以及這兩個數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)各是多少。

【典型例題】

甲、乙兩人分別以不變的速度打字，2分鐘共打了240個字，已知甲每分鐘比乙多打10個字。問甲、乙兩人每分鐘各打多少個字?

【思路點撥】

由甲、乙兩人2分鐘共打了240個字，可以得到第一個和的等量關(guān)系式，再由甲每分鐘比乙多打10個字可以得到第二個差的等量關(guān)系式，組成方程組求解即可。

【參考答案】

解：設(shè)甲每分鐘打x個字，乙每分鐘打y個字。根據(jù)題意得2(x+y)=240，x-y=10解得x=65，y=55答：甲每分鐘打65個字，乙每分鐘打55個字。

2.產(chǎn)品配套問題

總?cè)藬?shù)等于生產(chǎn)各個產(chǎn)品的人數(shù)之和，各個產(chǎn)品數(shù)量之間的比例符合整體要求。

【典型例題】

某車間有22名工人生產(chǎn)螺釘和螺母，每人每天平均可以生產(chǎn)螺釘1200個，或生產(chǎn)螺母2000個，一個螺釘要配兩個螺母，為了使每天生產(chǎn)的產(chǎn)品正好配套，應(yīng)該分配多少名工人生產(chǎn)螺釘，多少名工人生產(chǎn)螺母?

【思路點撥】

本題的第一個等量關(guān)系比較容易得出，即生產(chǎn)螺釘和螺母的工人共有22名，第二個等量關(guān)系的得出要弄清螺釘與螺母是如何配套的，即螺母的數(shù)量是螺釘?shù)臄?shù)量的2倍(注意：別把2倍的關(guān)系寫反)。

【參考答案】

解：設(shè)分配x名工人生產(chǎn)螺釘，y名工人生產(chǎn)螺母。根據(jù)題意得x+y=22，2×1200x=2000y解得x=10，y=12答：應(yīng)該分配10名工人生產(chǎn)螺釘，12名工人生產(chǎn)螺母。

3.工作量問題

①我們在解決工程問題時通常把工作總量看成1。②工作量=工作效率×工作時間。③總工作量=每個個體工作量之和。④工作效率=工作量÷工作時間(即單位時間的工作量)。⑤工作效率=1÷完成工作的總時間。

【典型例題】

現(xiàn)要整理一批文件，由1個人完成需要40個小時，計劃由一部分人先做4小時，再增加2人和他們一起再做8小時，完成這項任務(wù)，假設(shè)這些人的工作效率都相同，則應(yīng)先安排多少人工作?

【思路點撥】

首先將工作總量設(shè)成1，可以得到每人的工作效率，再根據(jù)x人先做4小時可以完成的工作量，和增加2人后，(x+2)人工作8小時完成的工作量之和，等于總量1，可以列出方程，解方程求解即可。

【參考答案】

解：設(shè)總工作量為1，應(yīng)先安排x人工作，則每個人的工作效率為0.025。

根據(jù)題意得4x×0.025+8(x+2)×0.025=1

解得x=2

答：應(yīng)先安排2人工作。

4.利潤問題

①商品利潤=商品售價-商品進價。②利潤率=利潤÷進價×100%。

【典型例題】

商店新進一批商品準(zhǔn)備出售，若打8折出售，則10天可以售完，并能獲利10000元;若打7.5折出售8天可以售完，可獲利8000元，商品存放一天需要100元的存貨費，求這批商品的本錢(購貨價)和預(yù)售總價各是多少?

【思路點撥】

本題有兩個未知數(shù)，即商品本錢和預(yù)售總價，也有兩個明顯的等量關(guān)系，即兩種打折出售的獲利情況，根據(jù)售價-成本-存貨費用=利潤，可以列出方程組求解即可。

【參考答案】

解：設(shè)這批商品的本錢是x元，預(yù)售總價是y元。

根據(jù)題意得0.8y-x-10×100=10000，0.75y-x-8×100=8000

解得x=24200，y=4400

答：這批商品的本錢是24200元，預(yù)售總價是44000元。

5.行程問題

①路程=速度×時間。②相遇問題：快行距+慢行距=原距追及問題。③快行距-慢行距=原距航行問題。④順?biāo)?風(fēng))速度=靜水(風(fēng))速度+水流(風(fēng))速度。⑤逆水(風(fēng))速度=靜水(風(fēng))速度-水流(風(fēng))速度。

【典型例題】

A、B兩地相距480千米，一列慢車從A地開出，一列快車從B地開出。如果兩車同時開出相向而行，那么3小時后相遇;如果兩車同時開出同向(沿BA方向)而行，那么快車12小時可追上慢車，求快車與慢車的速度。

【思路點撥】

這個問題可以利用路程、速度和時間之間的關(guān)系列方程(組)求解，要明確快車與慢車的路程與A、B兩地的距離之間的關(guān)系，相向而行兩車相遇時，快車路程+慢車路程=A、B兩地距離;同向而行兩車相遇時，快車路程-慢車路程=A、B兩地距離。

【參考答案】

解：設(shè)快車的速度為x千米每小時，慢車的速度為y千米每小時。

根據(jù)題意得3(x+y)=480，12(x-y)=480

解得x=100，y=60

答：快車的速度為100千米每小時，慢車的速度為60千米每小時。

6.存貸款問題

①利息=本金×利率×期數(shù)。②本息和(本利和)=本金+利息。

【典型例題】

蔬菜種植專業(yè)戶徐先生要辦一個小型蔬菜加工廠，分別向銀行申請了甲、乙兩種貸款，共13萬元，王先生每年須付利息6075元，已知甲種貸款的年利率為6%，乙種貸款的年利率為3.5%，則甲、乙兩種貸款分別是多少萬元?

【思路點撥】

本題第一個等量關(guān)系式很好找就是甲、乙兩種貸款的和為13萬元，第二個等量關(guān)系式則需要用到公式利息=本金×利率×期數(shù)。

【參考答案】

解：設(shè)甲種貸款x萬元，乙種貸款y萬元。由題意可得x+y=13，0.06x+0.035y=0.6075解得x=6.1，y=6.9答:甲種貸款是6.1萬元，乙種貸款是6.9萬元。

7.數(shù)字問題

已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a。

【典型例題】

有一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)比十位上的數(shù)大5，如果把這兩個數(shù)的位置對換，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143，求這個兩位數(shù)。

【思路點撥】

本題中的等量關(guān)系：個位上的數(shù)-十位上的數(shù)=5;原數(shù)+新數(shù)=143。

【參考答案】

解：設(shè)兩位數(shù)個位上是x，十位上是y。

根據(jù)題意得x-y=5，(10y+x)+(10x+y)=143

解得x=9，y=4

答：這個兩位數(shù)是49。

8.方案問題

在解決實際問題時，需合理安排，從幾種方案中，選擇最佳方案。方案選擇的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應(yīng)抓住重點,比較幾種方案得出最佳方案。

【典型例題】

已知用2輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運貨10t;用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運貨11t。某物流公司現(xiàn)有31t貨物，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛,一次運完，且恰好每輛車都裝滿貨物。根據(jù)以上信息，解答下列問題。

(1)1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運貨多少噸。

(2)請你幫該物流公司設(shè)計租車方案。

(3)若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次。出最省錢的租車方案，并求出最少租車費。

【思路點撥】

第(1)問中，兩個等量關(guān)系均可利用貨物的總噸數(shù)等于兩種車型所運貨物噸數(shù)之和，每種車型所運貨物的噸數(shù)等于該種車的數(shù)量乘以每輛車裝滿貨物時可運輸?shù)呢浳飮崝?shù)，列出方程即可。第(2)問中，根據(jù)貨物的總噸數(shù)等于兩種車型所運貨物噸數(shù)之和列出方程，求解即可。第(3)問中，總費用等于A型車的總費用加上B型車的總費用，比較三種方案的費用得出最省錢的租車方案。

【參考答案】

解：(1)設(shè)1輛A型車裝滿貨物可運貨x噸，1輛B型車裝滿貨物可運貨y噸。

根據(jù)題意得2x+y=10，x+2y=11

解得x=3，y=4

答：1輛A型車裝滿貨物一次可運貨3噸，1輛B型車裝滿貨物一次可運貨4噸。

(2)設(shè)使用a輛A型車，b輛B型車。

根據(jù)題意得3a+4b=31

由于a、b均為正整數(shù)

所以a、b的取值可分別為1，7或5，4或9，1

答：該物流公司有三種租車方案。方案一為租用A型車1輛，B型車7輛;方案二為租用A型車5輛，B型車4輛;方案三為租用A型車9輛，B型車1輛。

(3)根據(jù)題意得

方案一：100×1+120×7=940

方案二：100×5+120×4=980

方案三：100×9+120×1=1020

答：最省錢的租車方案為租用1輛A型車和7輛B型車，最少租車費為940元。

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