來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2023-09-18 20:41:12
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什么是因式分解
把(a+b)²算出來是整式的乘法:
(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+2ab+b²
反過來,把a²+2ab+b²分解為兩個因式的乘積叫因式分解,因式分解是整式乘法的逆過程。
a²+2ab+b²=(a+b)(a+b)=(a+b)²
把一個多項式在一個范圍化為幾個整式的積的形式,這種式子變形叫做這個多項式的因式分解,也叫作把這個多項式分解因式。
因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一,它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中,在數(shù)學(xué)求根作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的應(yīng)用,是解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具。
今天給大家介紹七種常用的因式分解的方法。
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因式分解的7種常用方法
因式分解:x²-y²+x+5y-6
方法一:『配方法』解:x²-y²+x+5y-6=x²+x+1/4-y²+5y-6-1/4
=(x²+x+1/4)-(y²-5y+25/4)
=(x+1/2)²-(y-5/2)²
=(x+1/2+y-5/2)(x+1/2-y+5/2)
=(x+y-2)(x-y+3)
通過完全平方公式,湊成兩個數(shù)平方的差。
方法二:『十字相乘法』
解:x²-y²+x+5y-6
=(x+y)(x-y)+(x+5y)-6
=(x+y-2)(x-y+3)
方法三:『構(gòu)造法』
解:觀察式子x²-y²+x+5y-6的前兩項
x²-y²=(x+y)(x-y)
所以,可設(shè)x²-y²+x+5y-6
=(x+y+m)(x-y+n)
=x²-y²+m(x-y)+n(x+y)+mn
=x²-y²+(m+n)x+(n-m)y+mn
可以得到,
①m+n=1
②n-m=5
③mn=-6
利用①②解方程得,m=-2,n=3
所以,原式=(x+y-2)(x-y+3)
方法四:『主元法1』
解:觀察式子x²-y²+x+5y-6含有二元,把其中的x當作主要未知數(shù),y當作常量,整理式子得到,
x²-y²+x+5y-6
=x²+x+(-y²+5y-6)
=x²+x+(y-2)(-y+3)
因為(y-2)+(-y+3)=1
所以,原式=(x+y-2)(x-y+3)
方法四:『主元法2』
解:和上面一樣,反過來可以把y當作未知數(shù),x當作常數(shù)項,得
x²-y²+x+5y-6
=-y²+5y+(x²+x-6)
=-y²+5y+(x+3)(x-2)
因為(-1)(x-2)+(x+3)=5
所以,原式=(y+x-2)(-y+x+3)
=(x+y-2)(x-y+3)
方法五:『提取公因式法1』
解:x²-y²+x+5y-6
=(x+y)(x-y)+(3x+3y)+(-2x+2y)-6
=(x+y)(x-y)+3(x+y)-2(x-y)-6
=(x+y)(x-y+3)-[2(x-y)+6]
=(x+y)(x-y+3)-2(x-y+3)
=(x+y-2)(x-y+3)
方法五:『提取公因式法2』
解:x²-y²+x+5y-6
=(x+y)(x-y)+(-2x+2y)+(3x+3y)-6
=(x+y)(x-y)-2(x-y)+3(x+y)-6
=(x-y)(x+y-2)+[3(x+y)-6]
=(x-y)(x+y-2)+3(x+y-2)
=(x+y-2)(x-y+3)
方法六:『雙十字相乘法』
解:x²-y²+x+5y-6
=(x+y-2)(x-y+3)
方法七:『歸零法』
解:令x=0,則
原式=-y²+5y-6=(-y+3)(y-2)
令y=0,則
原式=x²+x-6=(x+3)(x-2)
所以,原式=(x-y+3)(x+y-2)
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