2024年初三數(shù)學(xué)：三角函數(shù)之【兩角和差】考點整理

兩角和差的三角函數(shù)公式：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

初中兩角和與差的三角函數(shù)試題

例1、已知函數(shù)y=cos2x+sinxcosx+1，x∈R.

(1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合;

(2)該函數(shù)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?

(1)解析：y=cos2x+sinxcosx+1

=(2cos2x-1)++(2sinxcosx)+1

=cos2x+sin2x+

=(cos2x·sin+sin2x·cos)+

=sin(2x+)+

y取得最大值必須且只需2x+=+2kπ，k∈Z，

即x=+kπ，k∈Z。

所以當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，自變量x的集合為{x|x=+kπ，k∈Z｝。

(2)將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換：

①把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移，得到函數(shù)y=sin(x+)的圖象;

②把得到的圖象上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)

y=sin(2x+)的圖象;

③把得到的圖象上各點縱坐標(biāo)縮短到原來的倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)

y=sin(2x+)的圖象;

④把得到的圖象向上平移個單位長度，得到函數(shù)y=sin(2x+)+的圖象;

綜上得到函數(shù)y=cos2x+sinxcosx+1的圖象。

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能以及運(yùn)算能力。

例2、已知函數(shù)y=sinx+cosx，x∈R.

(1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合;

(2)該函數(shù)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?

解析：(1)y=sinx+cosx=2(sinxcos+cosxsin)=2sin(x+)，x∈R

y取得最大值必須且只需x+=+2kπ，k∈Z，

即x=+2kπ，k∈Z。

所以，當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，自變量x的集合為{x|x=+2kπ，k∈Z｝

(2)變換的步驟是：

①把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移，得到函數(shù)y=sin(x+)的圖象;

②令所得到的圖象上各點橫坐標(biāo)不變，把縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)

y=2sin(x+)的'圖象;

經(jīng)過這樣的變換就得到函數(shù)y=sinx+cosx的圖象。

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能及運(yùn)算能力。

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